Collisionatore di particelle e studio di funzione

Composizione relativistica della velocità

Studio di funzione. Un collisionatore è un particolare acceleratore di particelle in cui le particelle accelerate in versi opposti lungo traiettorie circolari vengono fatte collidere frontalmente con velocità uguali e opposte. Supponiamo di considerare un elettrone con velocità (c indica la velocità della luce nel vuoto) nel sistema di riferimento del laboratorio, che collide frontalmente con un positrone (particella che ha la stessa massa dell’elettrone ma carica opposta) che ha velocità uguale e opposta a quella dell’elettrone.

Scrivere la funzione e verifica

1. Scrivi la funzione che esprime l’energia cinetica relativistica degli elettroni nel sistema di riferimento del laboratorio e verifica se la funzione è integrabile in senso improprio nell’intervallo [-1, 1].
2. Scrivi l’equazione della fisica classica che permette di esprimere la velocità dell’elettrone misurata dal sistema di riferimento del positrone e indica tale velocità dell’elettrone con g(x).
3. Scrivi la trasformazione relativistica che permette di esprimere la velocità dell’elettrone misurata nel sistema di riferimento del positrone e indica tale velocità con \( \beta \). Verifica che \( \beta \).
4. Studia la funzione e traccia il suo grafico. Individua la parte di grafico fisicamente accettabile. In questa parte del dominio la funzione ha un massimo? Riporta anche il grafico di g(x) nello stesso sistema di riferimento cartesiano.

Attualmente si sta valutando la possibilità di realizzare una nuova generazione di acceleratori in cui le particelle accelerate sono i muoni, particelle che hanno una massa e che a riposo hanno una vita media di 2,2 × 10^-6 s.

Supposizioni sugli acceleratori

Supponiamo che in questi acceleratori i muoni abbiano un’energia di 1,884 × 10⁹ J. Determina quale lunghezza possono percorrere muoni di questa energia prima di decadere.

Punto 1

Scrivi la funzione che esprime l’energia cinetica relativistica degli elettroni nel sistema di riferimento del laboratorio e verifica se la funzione è integrabile in senso improprio nell’intervallo [-1, 1]. Uno dei risultati più sorprendenti della relatività ristretta è l’equivalenza tra massa ed energia, nel senso che un aumento o una diminuzione di massa può essere visto in modo equivalente come un guadagno o una perdita di energia.

Einstein ha dimostrato che l’energia di un oggetto di massa m, che si muove a velocità v, è legata a queste due grandezze tramite la seguente relazione:

E = mc² + K

Quando l’energia totale viene detta energia a riposo, e la relazione diventa:

E = mc² + (γ - 1)mc²

dove γ è il fattore di Lorentz definito da:

γ = 1 / √(1 - v²/c²)