Cheat sheet di Matematica e Statistica

Problemi di accumulazione: discreto-combinatorica finita & continuo-calcolo integrale

Combinatorica finita: sommatorie

Sommatorie (un ciclo for). Attenzione al punto di partenza della sommatoria: 0, n o 1. A volte fa differenza e a volte no. Formule:

• Identità: di Gauss, ovvero s(k) = k.
• Quadratica:
• Costante:
• Esponenziale:

Proprietà della sommatoria

• Distributiva.
• Shift.
• Commutativa.
• Associativa.

Grazie a questo teorema puoi calcolare sommatorie che iniziano da un numero diverso da 1: (5;10) = (1;10) - (1;4).

Consigli

• La sommatoria di un’esponenziale non è molto più grande di un’esponenziale: in una sommatoria l’ultimo valore è così grande che “gli altri valori contano poco”.
• Se si parla di turni ricordati bene se si parte dallo 0 o dall’1; se ti chiedono gli elementi, fatti sempre un disegnino.
• Se ti chiedono i valori per la quale una sommatoria è maggiore o minore di x… risolvi la sommatoria e poi riprova i valori a mano.

La curva di log si chiama curva logistica/sigmoide. All’inizio sono molto simili (log, esp), ma poi la curva logistica si piega.

Sommatoria infinita

Riemann. Consideriamo la serie di addendi della forma (−1)ⁿ/n. Per qualunque numero reale c, è possibile scambiarli di posto in modo che la serie dia come risultato c. Non sempre le serie hanno un risultato. La proprietà commutativa non vale.

Consigli

x è la variabile che serve a identificare la sommatoria-legge, un’altra serve a delineare il range della sommatoria (mi dice quali, fra tutte le possibili sk, vengono sommate).

Con il coseno: k = 0 sommatoria 10 di cos(kπ): gli addendi saranno cos(0), cos(π), cos(2π), eccetera. Quindi 1, −1, 1, eccetera. La somma di essi sarà dunque alternativamente 1 e 0. Facendo questa somma n volte, dunque, avremo il risultato 1 per n dispari, e 0 per n pari.

Sommatoria da -20 a -1 = alla –n (sommatoria da 1 a 20).

Proprietà distributiva di doppia sommatoria di funzioni

Teorema di Fourier. Ogni funzione periodica è una somma infinita di sinusoidi.

Combinatorica finita: produttorie

Produttoria di funzione identità: fattoriale!

Produttoria di funzione costante:

Proprietà delle produttorie

Regola della divisione della produttoria: (k = 3 a 10) = (k = 1 a 10)/(k = 1 a 2).

• Commutativa.
• Associativa.
• Dello shift.
• Da produttoria a sommatoria.

Combinatorica finita: permutazioni e disposizioni

D2.34 A = {x1,...,xn} un insieme finito. Una sequenza che contiene gli stessi elementi di A si chiama permutazione di A. Di {a,b,c} sono permutazioni: (b,a,c), (c,a,b) o (a,b,c). Il numero di permutazioni di un insieme dipende solo dal numero di elementi dell’insieme.

D2.35 Sia n ∈ N. Chiamiamo Pn il numero di possibili permutazioni di un insieme di cardinalità n. T2.36 Sia n ∈ N. Allora: Pn = n! P0 = 1 e 0! = P0 = 1.

D2.37 Sia A un insieme finito di cardinalità n. Sia m ≤ n. Chiamiamo disposizione di A di classe m una permutazione di un sottoinsieme di A di cardinalità m, ovvero una sequenza di m elementi di A che non si ripetono. Quindi se {a,b,c,d,e} è un insieme, (a,d,e), (c,a,b) o (d,b,c) sono alcune sue disposizioni di classe 3.

D2.38 Siano n, m ∈ N, m ≤ n. Allora Dn,m è il numero di disposizioni di classe m di un insieme di cardinalità n.

Modalità slot: ogni slot è il numero di possibilità rimanenti.

T2.39

Calcolo integrale: integrale definito

La figura delimitata dal grafico di una funzione su un intervallo e l’asse delle ascisse si chiama trapezoide. Plurirettangoli per approssimare l’area di un trapezoide. Dividiamo l’intervallo [a,b] in n parti (uguali). Per ogni intervallino calcoliamo il minimo della funzione e disegniamo il rettangolo che ha come base l’intervallino, come altezza il minimo per tutti gli intervallini: l’area di questo plurirettangolo si chiama somma integrale inferiore, s(f,a,b,n). Se invece avessimo preso i massimi della funzione negli intervallini: somma integrale superiore, S(f,a,b,n). Più sarà alto n, più vicine saranno entrambe le somme integrali all’area del trapezoide.

Quando parliamo di area, stiamo parlando di area segnata, ovvero di un’area dotata di segno: positivo se sopra l’asse delle ascisse, negativo se sotto. A volte queste somme combaciano all’infinito, a volte no. “dx” indica la variabile di riferimento dell’integrale, nel caso in cui in f compaiano altri parametri.

Tutte le funzioni continue sono integrabili su intervalli chiusi e limitati del dominio. Dato che la funzione è simmetrica, l’area sopra l’asse delle ascisse è, in valore assoluto, uguale all’area sotto l’asse delle ascisse, ma essendo di segno opposto abbiamo:

Possiamo provare a definire l’integrale definito anche se a < b o a = b. Si chiama orientazione dell’integrale: a = a. Stiamo cercando l’area di una linea, di un segmento. Dato che le linee non hanno area: l’integrale definito è uguale a 0.

D2.47. Sia f una funzione reale integrabile, a,b ∈ R, [a,b] ⊆ dom(f). Se a < b:

T2.48. Questo teorema può essere utile per calcolare l’integrale definito di una funzione definita a tratti (con i sistemi).

Proprietà

T2.50.

• Sia f una funzione reale integrabile, a,b,c ∈ R. Allora:
• Siano f,g funzioni reali integrabili, a,b ∈ R. Allora:

Vale anche questa per le aree segnate.

Caso delle aree non segnate

Le aree geometriche non sono segnate, sono sempre positive, quindi dobbiamo prendere sempre il valore assoluto dell’integrale definito. Dobbiamo trovare il punto d calcolando l’intersezione del grafico di f con l’asse delle ascisse, e poi sommare il |a| dei due integrali:

Due grafici che si intersecano fra loro

Dobbiamo trovare il punto c, il valore per cui f(c) = g(c), dividere l’integrale in due pezzi, ed integrare sempre la funzione sopra meno la funzione sotto:

Un modo per risolvere l’integrale definito in maniera esatta, quindi non per approssimazioni, che usa le derivate:

Calcolo integrale: primitive di una funzione

Se f è una funzione derivabile, allora f’, o Df, è la sua funzione derivata. Se fosse biiettiva, potremmo costruire un’inversa della derivata:

D2.55 Sia f una funzione reale. Allora F si dice primitiva di f se per ogni x ∈ dom(f), F’(x) = f(x), ovvero DF = f. D non è suriettiva.

T2.56 Ogni funzione continua ha almeno una primitiva. D non è iniettiva. E dunque non è biiettiva. E dunque non è invertibile. Quindi esiste almeno una funzione che ha primitive diverse.

D2.57 Sia f una funzione reale che ammette una primitiva. L’integrale indefinito di f è l’insieme delle funzioni primitive di f, e si scrive:

∈ R, ⊆ Teorema di Lagrange. Sia f una funzione reale, a,b tale che [a,b] ⊆ dom(f), f è continua in [a,b], f è derivabile in ]a,b[. Allora esiste c ∈ [a,b] tale che f’(c) =

Per calcolare l’intero integrale indefinito dobbiamo essere attenti al dominio; se è un intervallo nessun problema, altrimenti dobbiamo dividerlo:

n ∈ N. Es: 0, 1, 2x, 3x²,... il dominio è se n ∈ Z e n < 0. Il dominio se R\{0}, si fa il caso n ∉ Z dipende dalle CE degli elementi. Tutto R, nessun problema sistema.

Tabella primitive: tabella derivate:

Regole di linearità al contrario

Regole di linearità. Il coefficiente lineare, se sta “fuori” dalla funzione da integrare, lo si può portare “fuori” dall’integrale, mentre se sta all’interno, bisogna usare le formule qui sopra.

Regola di derivazione di composizione di funzioni “al contrario”: caso lineare.

Integrali indefiniti +C

Regola di derivazione di composizione di funzioni “al contrario”: caso generale. Integrale di g(h)*h(G(x)) = H(G(x)) + c.

Regola di derivazione di prodotto di funzioni al contrario: integrazione per parti

Integrazione per parti. g,h funzioni reali, G,H primitive. Allora: può non portare da nessuna parte ma se si conosce bene l’integrazione ce la si può fare.

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sia f una funzione reale integrabile su [a,b]. La media integrale di f su [a,b] è:

Teorema della media integrale. Se f è continua in [a,b] allora ∃ c ∈ (a,b) tale che

Sia f una funzione reale continua su [a,b], F una sua primitiva su [a,b]. Allora: questa si può anche scrivere come [F(x)].

Applicazioni del calcolo integrale

• 1 aree geometriche.
• 2 volume solidi di rotazione.
• 3 lunghezza del tratto di un grafico di una funzione.
• T2.104.
• 5 Teorema di Fourier T2.109 (TdF).

Disc integration

Il volume del solido generato da una rotazione del trapezoide individuato dal grafico di f con base [a,b] intorno all’asse delle ascisse è:

Lunghezza del tratto di un grafico di una funzione

Sia f una funzione derivabile su [a,b]. Allora l’arco del grafico di f da a a b ha lunghezza:

Teorema di Fourier

Sia f una funzione reale periodica. Per ogni frequenza ν, esistono A(ν) e φ(ν), tali per cui f(x) =

In altre parole: ad ogni frequenza ν stiamo associando una sinusoide di frequenza ν, ampiezza A(ν) e fase φ(n), e f è l’accumulazione di tutte queste sinusoidi.

Numeri armonici

4 numeri armonici. 1/k: si chiamano numeri armonici, l’n-esimo numero armonico: Hn. I numeri armonici crescono illimitatamente, anche se molto lentamente; quindi la serie armonica non ha una somma finita. T2.107. Per ogni n ≥ 2 vale:

Shell integration

Il volume del solido generato da una rotazione del trapezoide individuato dal grafico di f con base [a,b] intorno all’asse delle ordinate è:

RMS di una funzione

6 RMS di una funzione. In caso di funzioni periodiche, se P è la lunghezza del periodo, allora la media integrale del segnale f è: quanto l’onda si distanzi dalla media: RMS. Il RMS non dipende dal periodo, ma solo dall’ampie