Calcolo numerico e software matematico - Domande e risposte

Capitolo 1 lezione 1

Notazione posizionale mista, notazione scientifica e notazione scientifica normalizzata

Cosa si intende per notazione posizionale mista, notazione scientifica e notazione scientifica normalizzata di un numero?

Notazione posizionale mista: la scrittura 3.14−3 −2 −1 0 1

Notazioni scientifiche: 3140 · 10 , 314 · 10 , 31.4 · 10 , 3.14 · 10 , 0.314 · 10¹

La notazione 0.314 · 10 in cui la prima cifra dopo il punto radice è diversa da zero si chiama notazione scientifica normalizzata.

Cifre per la memorizzazione al calcolatore

Quante sono le cifre a disposizione per la memorizzazione al calcolatore del segno, della mantissa e della caratteristica di un numero reale in precisione semplice e in precisione doppia?

Precisione semplice 32 bit, precisione doppia 64 bit.

Sign 1(+ = 0 ; - = 1), mantissa 23 o 52, caratteristica 8 o 11.

Numeri reali rappresentabili al calcolatore

Quali sono il più piccolo e il più grande numero reale positivo rappresentabile al calcolatore su 32 e su 64 bit? Scriverne la rappresentazione su 32 bit.

Precisione semplice 32 bit:

• Xmin = 1.00...0 · 2 ≈ 1.17 · 10^-38 (00000001 0000000 00000000 00000000)
• Xmax = 1.11...1 · 2 ≈ 3.40 · 10³⁸ (01111110 1111111 11111111 1111111)

Precisione doppia 64 bit:

• Xmin = 1.00...0 · 2 ≈ 2.22 · 10^-308
• Xmax = 1.11...1 · 2 ≈ 1.7 · 10³⁰⁸

Quali sono il più piccolo e il più grande numero reale negativo rappresentabile al calcolatore su 32 e su 64 bit? Scriverne la rappresentazione su 32 bit.

Più piccolo e più grande negativo in precisione semplice 32 bit:

• xmin negativo = -xmax = -1.11...1 · 2 ≈ -3.40 · 10^-38 (11111110 1111111 11111111 1111111)
• Xmax = -x = -1.00...0 · 2 ≈ -1.17 · 10¹ (10000001 0000000 00000000 00000000)

Più piccolo e più grande negativo in precisione doppia a 64 bit:

• Xmin = -xmax = -1.11...1 · 2 ≈ -1.7 · 10^-308
• Xmax = -xmin = -1.00...0 · 2 ≈ -2.22 · 10^-308

Rappresentazione al calcolatore di numeri reali su 32 bit

Qual è la rappresentazione al calcolatore del numero reale 0 su 32 bit?

0 00000000 0000000 00000000 00000000

Qual è la rappresentazione al calcolatore del numero reale 1 su 32 bit?

0 01111111 0000000 00000000 00000000

Il numero 1 viene visto come 1.0 · 2

Distribuzione dei numeri finiti sull'asse reale

Come sono distribuiti i numeri finiti sull’asse reale?

La loro distribuzione non è uniforme e la loro densità decresce con l’aumentare del valore assoluto del numero.

Numeri denormalizzati

Cosa sono i numeri denormalizzati?

I numeri denormalizzati sono numeri compresi negli intervalli (−xmin, 0) e (0, xmin).

Memorizzazione dei numeri reali al calcolatore

Quali sono i casi che si presentano quando si memorizza un numero reale al calcolatore?

Il numero in base 2 è un numero periodico. Avendo un numero non finito di cifre della mantissa, questo numero non è memorizzabile “esattamente” dal calcolatore; potrò solo memorizzare una sua approssimazione.

Precisione di macchina

Che cosa è la precisione di macchina?

La precisione di macchina è una maggiorazione dell’errore relativo che si commette quando si approssima un numero reale con un numero finito.

Assegnata la base β = 10 e il numero t = 12 di cifre a disposizione per la mantissa, si calcoli la precisione di macchina. ε = β = 10 = 10

Capitolo 1 lezione 2

Operazioni con i numeri finiti

• La somma di due numeri finiti consiste nei seguenti tre passi:
  1. Confronto delle caratteristiche: Se le caratteristiche sono uguali si procede direttamente al passo 2. Se sono diverse si “pareggiano” gli esponenti al valore più alto.
  2. Somma delle mantisse.
  3. Controllo della caratteristica.
• La moltiplicazione di due numeri finiti consiste nei seguenti due passi:
  1. Moltiplicazione delle mantisse.
  2. Controllo della caratteristica.
• La divisione di due numeri finiti consiste nei seguenti tre passi:
  1. Confronto delle mantisse: Se il dividendo è maggiore del divisore si divide il dividendo per la base. Se il dividendo è minore del divisore si va al passo 2.
  2. Divisione delle mantisse.
  3. Controllo della caratteristica.
• Il controllo della caratteristica, denotata con s, consta nel verificare se s ∈ [Emin, Emax]. Se s < Emin avremo underflow, se s > Emax avremo overflow.
• Non vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
• Non vale la proprietà dell’unicità dell’elemento neutro rispetto alla somma; può succedere infatti che la somma di due numeri di macchina sia uguale ad uno dei due addendi. Questo accade quando uno dei due numeri è molto più grande dell’altro.
• Non vale la legge dell’annullamento del prodotto.

Mostrare con un esempio che, in aritmetica dei numeri finiti, non vale la proprietà associativa della somma. Un differente ordine con cui vengono eseguite le operazioni comporta un risultato diverso.

Mostrare con un esempio il fenomeno della cancellazione di cifre. ax + bx + c = 0.

Capitolo 1 lezione 3

Compilatori e interpreti

Cosa sono i compilatori e gli interpreti?

Sono traduttori in linguaggio macchina delle proposizioni scritte in un linguaggio ad alto livello di astrazione. I linguaggi che hanno un interprete come traduttore si dicono linguaggi interpretativi (Matlab, Python); mentre i linguaggi che hanno un compilatore come traduttore si dicono linguaggi compilativi (Fortran, C).

Definizione di algoritmo

Fornire la definizione di algoritmo.

Un algoritmo è una sequenza finita di istruzioni che possono essere eseguite dal calcolatore, producendo risultati da dati assegnati.

Requisiti di un algoritmo

Elencare quali requisiti deve soddisfare un algoritmo.

• Generale: Applicabile a qualsiasi insieme di dati appartenenti a un prefissato dominio.
• Finito: Costituito da una sequenza finita di istruzioni ciascuna delle quali può essere richiamata un numero finito di volte.
• Non ambiguo: Costituito da istruzioni che si contraddicono a vicenda oppure che portano a risultati chiari.