Calcolo della derivata di una funzione
Determinazione della derivata tramite definizione
Consideriamo la funzione f(x) definita come:
f(x) = 1/1 + x2
Dobbiamo determinare la derivata di f(x) nel punto di ascissa x = 2 applicando la definizione.
La definizione della derivata in un punto c è:
f'(c) = limh → 0 f(c + h) - f(c)/h
Calcoliamo f(c) per c = 2:
f(2) = 1/22 + 1 = 1/5
Calcoliamo f(2 + h):
f(2 + h) = 1/(2 + h)2 + 1 = 1/h2 + 4h + 4 + 1 = 1/h2 + 4h + 5
La derivata sarà:
f'(2) = limh → 0 1/(h2 + 4h + 5) - 1/5/h
Semplifichiamo il calcolo:
limh → 0 5 - (h2 + 4h + 5)/5(h2 + 4h + 5) = limh → 0 -h(h + 4)/5(h2 + 4h + 5)h
Quando h → 0, otteniamo:
f'(2) = -4/5 × 5 = -1/25
Verifica tramite regole di derivazione
Utilizziamo le regole di derivazione per verificare il risultato ottenuto tramite la definizione.
La derivata di f(x) = 1/1 + x2 con la regola del quoziente è:
f'(x) = 0 - 2x/(1 + x2)2 = -2x/(1 + x2)2
Per x = 2:
f'(2) = -2 × 2/(1 + 22)2 = -4/5 × 5 = -1/25
Il valore della derivata calcolato con entrambe le metodologie coincide: f'(2) = -1/25.
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