Base ortogonale del sottospazio

Base ortogonale del sottospazio e proiezione, vettori liberi

Base ortogonale del sottospazio e proiezione, vettori liberi

In ℝ⁴ siano dati i sottospazi U = L((1, 0, 2, -1), (0, 1, 0, 0)) V = {(x, y, z, t) ∈ ℝ⁴: x + 2y - z = 0, x - t = 0, y + 2t = 0}.

Si trovi una base ortonormale del sottospazio U + V e si trovi la proiezione ortogonale del vettore _w = (1, 0, 0, 0) su U + V.

Base per U e V

I vettori {_u1, _u2} che generano U sono linearmente indipendenti, quindi costituiscono una base per U. Determiniamo una base per V:

_x(x, y, z, t) ∈ V ⇔ {x + 2y - z = 0 x - t = 0 y + 2t = 0} ⇔ _t(t, -2t, -3t, t)

Detto _v = (1, -2, -3, 1) si ha che V = L(_v). Ora U + V = L(_u1, _u2, _v), determiniamo una base di U + V:

rg _{(1 0 -2 -1 0 1 0 0 1 2 -3 1)} = 3 ⇔ {_u1, _u2, _v} base di U + V

Base ortonormale di U + V

Partendo da questa base determiniamo la base ortonormale {_a1, _a2, _a3} richiesta.

Primo passo: poniamo _a1 = _u1 / √_c (1, 0, 2, -1)

Secondo passo: sia _a2 = _u2 in quanto _u2 è ortogonale ad _u1 ed è già di norma 1

Terzo passo: sia _x3 = _v - (_v · _a1)_a1 - (_v · _a2)_a2 dove _v · _a1 = 3 / √6, _v · _a2 = -2 e quindi _x3 = (2, 0, -1, 0) da cui _a3 = _x3 / √|_x3| 1 / √3 (2, 0, -1, 0).

La base ortonormale richiesta è dunque formata dai seguenti vettori:

• _a1 = 1 / _√6(1, 0, 2, -1)
• _a2 = (0, 1, 0, 0)
• _a3 = 1 / √5(-2, 0, 1, 0)

Proiezione ortogonale del vettore w

Dato il vettore _w = (1, 0, 0, 0), la sua proiezione ortogonale su U + V è data da:

_pu+v(_w) = (_w · _a1) _a1 + (_w · _a2) _a2 + (_w · _a3) _a3

Ossia _pu+v(_w) = 1 / _√6(1 / _√6(1, 0, 2, -1) + (0, 1, 0, 0) + 2 / _√5(0, 1, -3, 0) = 29 / ₃₀, 1, -1 / ₁₅, -1 / ₆