Area di una figura composta da triangoli e teoremi di Euclide

Complementi di matematica

Teoremi di Euclide e di Pitagora

Esercizi Svolti

• Area di una figura composta da triangoli
• Area di un triangolo note alcune relazioni tra i suoi lati

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Teoremi di Euclide e di Pitagora

Esercizi Svolti

• Area di una figura composta da triangoli
• Area di un triangolo note alcune relazioni tra i suoi lati

Problema 1

1. Calcola l’area del trapezio direttamente come somma di tre triangoli
2. Deduci il teorema di Pitagora

a.

L’area del trapezio ABCD è:

_{(AD + BC) . AB}/₂ = _{(a + b) . (a + b)}/₂ = _{a² + 2ab + b²}/₂.

Consideriamo i tre triangoli in cui risulta scomposto il trapezio.

• AED è rettangolo, l’area è _ab/₂.
• EBC è rettangolo, l’area è _ab/₂.
• Dimostriamo che DEC è rettangolo in E. I triangoli AED ed EBC sono congruenti per il primo criterio, in particolare ∠AÊD &equ; ∠BÊC e quindi ∠AÊD + ∠CÊB = ∠BÊC + ∠CÊB = 90°. Allora, poiché ∠AÊB = 180°, ∠DÊC è supplementare di ∠AÊD + ∠CÊB e quindi ∠DÊC = 90°. Il triangolo DEC è quindi rettangolo e l’area di DEC è pertanto _c²/₂.

L’area del trapezio risulta _ab/₂ + _ab/₂ + _c²/₂.

b.

Uguagliando le due espressioni trovate:

_{a² + 2ab + b²}/₂ = _ab/₂ + _ab/₂ + _c²/₂ → a² + 2ab + b² = ab + ab + c² → a² + b² = c².

L’uguaglianza ottenuta esprime il teorema di Pitagora per il triangolo rettangolo AED.