Appunti per esame - Elettrotecnica/Teoria dei circuiti, prof.Di Barba

Generico bipolo lineare (utilizzatori) in base corrente

V = E + A (I - A)

Generico bipolo lineare (util.) in base tensione

I = A + G (V - E)

Generatori comandati

V comandato da V → V₂ o V_X

V comandato da I → V₂ = R_mI₁

_{(resistore mutuo)}

Generatore di I comandato da V → I₂ = βVm

Generatore di I comandato da I → I₂ = βI₁

Serie e parallelo

• Serie → due bipoli sono in serie se sono percorsi dalla stessa corrente i
• Parallelo → due bipoli sono in p. se sono attraversati dalla stessa tensione V (due nodi in comune)

Albero e coalbero di un grafo

Es.

Albero → sottografo che contiene tutti i nodi, ma non ha maglie

L'albero ha n-1 lati

Coalbero → sottografo complementare di un albero

Generico bipolo lineare (unilatero) in base corrente

V = E + A(I - A)

Generico bipolo lineare (uni.) in base tensione

I = A + G(V - E)

Generatori comandati

V comandato da V → V₂ = αV₁

V comandato da I → V₂ = R_mI₁ (resistore mutuo)

Generatore di I comandato da V → I₂ = βmV₁ (conduttore mutuo)

Generatore di I comandato da I → I₂ = βI₁

Serie e parallelo

Serie → due bipoli sono in serie se sono percorsi dalla stessa corrente I

Parallelo → due bipoli sono in p. se sono attraversati dalla stessa tensione V(due morsetti in comune)

Albero e coalbero di un grafo

es. albero = sottografo che contiene tutti i nodi, ma non ha maglie.

l'albero ha n-1 lati

(coalbero) = sottografo complementare di un albero

KVL e KCL

alle maglie

ΣV_i = 0

ai nodi

ΣI_i = 0

m-1 KVL sono lin. indipendenti

r = m + 1 kV, sono indipendenti

Formule partitore di tensione e derivatore di corrente

Serie

R_tot = R₁ + R₂

V = V₁ + V₂

I =             V

R₁ + R₂

V₁ = R₁           V

            R₁ + R₂

V₂ = R₂           V

            R₁ + R₂

Formule partitore di tensione

Parallelo

V₁ = V₂ = R

I = I₁ + I₂ = V      V      V = R₁R₂

                R₁      R₂      R₁+R₂

I₁ = R₂          I        Formule derivatore

                R₁ + R₂     di corrente

I₂ = R₁          I

                R₁ + R₂

Metodo dei potenziali ai nodi (no corrente)

• matrice di incidenza

(il testo di nodo ou riferimento)

• m      -1  se entra la freccia rispetto al nodo
• o    +1  se esce
• d     0  se non c'entra
• matrice (induttanza) ridotta

(elementi riga del nodo di riferimento)

• matrice della ammettenza (p_de) il numero di lati

(e' l'Ohm matrici ai collettori)

• matrice delle generazioni di corrente (r_d)

metto il numero nella riga in cui si trova il lato che

ha il generatore di corrente

questo è il verso della corrente: se concordare con orientamento lato +

se è inverso con        lato +

(E) matrice dei generatori di tensione (l x d)

lato in cui si trova il generatore

questo generatore lato se convenzione letto -

se discendente letto +

[G_i] matrice condensare di modo (3 x 3) oppure metodo diretto

• [₁], [₁], [_E]

sono le tre tensioni che rispetto al nodo 4 hanno i nodi 1, 2, 3

V₁₂ = V₂ - V₁

dove punta la freccia e quale positivo.

le V₁ possono calcolate con V₁=[C_i][V₁]

1. per trovare P: dopo aver trovato le tensioni

2. per trovare P_E -> V₃ = V₃ - V₁ - V_L + V₃ = 0 -> V_L = E - V₃

3. se V₁ è negativo I_L = -(V_L/RI)

   = P_E = E, I

Potenziali ai nodo con generazioni comandati

nella matrice [G_i] (l x e) fuori diagonale (gik) se nel lato i è presente un generatore di correnti commandato dalla tensione del lato k, cambio quel valore. ([G_i]

Metodo delle correnti di maglia (o maglie indipendenti)

Matrix di apparato

• Matrice di resistenze nodali (sotto maglia interne)
• Lati:
  • +1 se orientato, lato comune con maglia
  • 1 se discorde
  • 0 se lato non entra con la maglia

Matrix resistenze ai lati ai compo (esemp)

• Resist. sui
  • l l l | l resist. su lato 1
  • patx 0 resist. su lato 2
  • l pl 0 0 resist. su lato 3

Matrice resistense di maglia (simmetrica solamente 3x3)

R_12

Resistenza in colonna maglia, uno e due

R_13

Se le maglie hanno orientamento concorde (con resistenza innanzi + se no -)

Somma resistenze in quella maglia

A ed E si fermo usualmente

• V = [N][R][A] - [M][E]
• [B][I] - [V] => [Z] = [R]^-1[V]
• Vettore delle tensioni imprese o nodali/conuna definita delle tensioni del E da impresso alla modella di N
• [E] correre che percorre la maglia

Per le grandezze pi es.

Oppure I = (Chr)^-1[G]

Tensione che percorre la maglia non E5 sta E₂

R₃ + R₃ = I₃

Guarda verso dove I va discorde a V₃

1₂ = I₁ + 1₂

1₄ = I₁ + 1₃

V_{2 PR}

1₂ - 1

Ricaricare mode 1

V₂ = R₂.I₂, Z = PA = V₂.A

Metodo corrente di Nodebit (con generatore comandato)

(CR) non è diagonale Ri, se lato con generatore ai tensioni è comandato da corrente ai lato ri i (CR) com'è l'issuectiva

use Rif = (1 RATE VOL non vou disegnatelo

Teoremi che possiamo scrivere

• Se c'è solo un generatore ai tensioni la sua E è maggiore delle altre V.
• Se c'è solo un contesto, la sua A è il massimo delle altre I.

Note su sovrapposizione effetti

Se ci sono xeva pression, combandosi, questi vanno

lasciai e sotto l'effetto ai tutte le cause

P = R₂(I_e + I_a)² = P_e + P_a + 2R₂I_eI_a

Teorema di Thevenin e Norton

Un circuito lineate a olio noisev può essere sostituito da:

• un generatore di tensioni ed un resisore serie (Thevenin)
• un feneroatore di corrente ed un resisore parallelo (Norton)

THEVENIN

es

Per trovare V₁+1 basta pesnere la parra o orex ai e calcolo la V.

Calcolare I_eq

Calcolare Req

Req = R1//R2

Regime (resistenza variabile)

ENERGIA CONSERVATIVA ➔ ACCUMULO ENERGIA INTERNA Importante se W(i) non varia… Faraday 1/2 C V²

Sono il condensatore || cap. C | 1/2 C V² e l’induttore |————| induttanza L | 1/2 L i²

iv = d/dt (1/2 C v²) = vC dv/dt (c.)

iv = d/dt (1/2 L i²) = iL di/dt (i.)

W_carica + W_{scarica (condensatore)} = 1/2 q²/C

W_{magazzinazione} + W_dissipazione = 1/2 u²

Regime P.A.S.

= ωt

() = A_M(cos + φ)

valore medio A_cm = 2π ∫₀^2π A_M cos()d = 0

fattore di vertice K_v = 1,41

valore medio aritmetico A_ma = 2A_M/π

valore efficace A = A_M/√2

La potenza istantanea si può calcolare con √2/R

RAPPRESENTAZIONE GENERALE P.A.S.

s(t) = A_M cos (ωt + φ) π = φ /ω

1. Polare

   coordinate polari (x, y) intensità n'ampiezza A

   ω: in verso antiorario a partire da φ

   A* e^j(ωt+φ)

2. Cartesiana

   A = A cos (ωt + φ) + jA sin (ωt + φ)

   Re(s)

Analitica

Se si preferisce uno si può prendere nota o usare per le espressione

a

cosφ = ReA

A = Acosφ + jAsinφ

s = R, v = x

C = √{A₁² + B₂² + 2A B cos(α - β)}

SOMMA DI DUE FASORI

C^j = A^jφ + B^jβ

PRODOTTO DI DUE FASORI

PRODOTTO DEI MODULI E SOMMA DELLE FASI

BIPOLI ELEMENTARI IN REGIME S.A.S.

• Generatore tensione
• Resistenza ideale
• Induttore ideale

ESERCIZIO BIAS

10 ∠ 45°

R₁ = 9 Ω, R₂ = 2 Ω

L = 10 mH, C = 50m

ω = 250 rad/s

1. Prima si calcolano le impedenze impedenza resistenza

Serie Z_R1 = 4 + Z = 1 2,5 Ω

Serie Z^{R₂ = 2 + Z1 = 7,5 Ω}

Ul

Velia 250 rad/s

ω

• 2π
• 1/ωC

Z_C = - j

(ω)

< 31,4 < 48,04° (40 < 45°)