Analisi Numerica - Esercizi

Prova scritta numerica del 18-06-2011

Corso di “Analisi numerica” (AA 2010-2011) - C.L. Ingegneria Energetica

Esercizio 1

Si intende calcolare la soluzione (ξ, η) di modulo più piccolo e positiva in entrambe le coordinate del seguente sistema di equazioni:

−(x² + y²)²
f(x, y) = e cos(x + y²) = 0 (1)

g(x, y) = y/x = 1 (2)

Posta pari a ε = 0.5 · 10⁻⁶ la tolleranza nella rappresentazione dei numeri, si calcoli con almeno tre cifre decimali esatte la soluzione in questione mediante il metodo delle tangenti di Newton, applicato al sistema di equazioni in questione o ad una sua variante equivalente, ovvero che ne condivida le soluzioni.

Nella illustrazione del procedimento si ponga attenzione a:

• Separazione delle radici;
• Scelta del punto di innesco delle iterazioni;
• Criterio di arresto delle iterazioni.

Esercizio 2

Si consideri il seguente sistema lineare di equazioni (con identica tolleranza dell’esercizio precedente)

A =  
 2α 0 0 
 1/2 α −1 
 1 1/2 2 

b =  
 −1 
 1 
 1  (3)

In relazione al quale:

• Si determini l’insieme dei valori di α tale che il metodo di Jacobi risulti convergente;
• Si applichi il metodo di Jacobi al sistema ottenuto con α = 4 assumendo come vettore iniziale delle iterazioni x = 0;
• Si stimi l’errore di troncamento commesso dopo tre iterazioni.

Esercizio 3

Risolvere l’equazione differenziale nell’intervallo I = [0, 1]

y′(x) = y(x) (1 + y(x)) con y(0) = 1 (4)

Utilizzando il metodo di Eulero con h = 0.2; si fornisca pertanto:

• Successione delle iterate y₀ = y(0), y₁, . . . , y₅;
• Grafico dei punti calcolati e della soluzione esatta fornita da y(x) = 1/(2e^−x −1); successione degli errori di troncamento e₀ = 0, e₁, . . . , e₅;
• Si maggiori l’errore di troncamento locale commesso nel calcolo del valore (x₂, y₂) a partire dal valore (x₁, y₁) utilizzando la conoscenza della soluzione esatta;
• Si ripeta il calcolo della maggiorazione dell’errore prescindendo dalla conoscenza della soluzione esatta e si commenti il risultato ottenuto.