Analisi matematica, Limiti prime nozioni, esercizi svolti

Analisi matematica: limiti

Esercizi svolti

• Estremi di un insieme
• Punti isolati
• Estremo inferiore
• Punti di accumulazione
• Estremo superiore
• Definizione e significato del limite
• Massimo
• Limite per eccesso e limite per difetto ∞
• Minimo
• Per x che tende ad un valore finito
• Limite

Esercizi sui limiti

Determina alcuni elementi dell’insieme A e rappresentali sulla retta orientata. Scegli un punto dell’insieme e verifica che sia un punto isolato.

Verifica che il punto scritto a fianco all’insieme dato è un punto di accumulazione per l’insieme.

Deduci i limiti indicati osservando le figure. - 1 -

Estremo superiore

Per indicare l’estremo superiore di un insieme E si usa la notazione . L’estremo superiore può appartenere o non appartenere all’insieme; nel primo caso è detto anche massimo e si usa la notazione. - 2 -

Estremo inferiore

inf

Per indicare l’estremo inferiore di un insieme E si usa la notazione. L’estremo inferiore può appartenere o non appartenere all’insieme; nel primo caso è detto anche minimo e si usa la notazione . - 3 -

;; - 4 -

Insieme A

Come è fatto l’insieme A? ∈

Ogni elemento di A è uguale alla radice quadrata di un intero2, )5, 2)2, 3, … ⊆ 0! .

"0,1, √3,√2, √6, √7,

Sulla retta dei numeri reali abbiamo:

Ogni elemento di A è un punto isolato.

√3

Ad esempio è un punto isolato perché esiste almeno un suo intorno che non contiene altri elementi di A √3.

Oltre a - 5 -

Insieme D

Scriviamo come sono gli elementi dell’insieme D:

1 1 1 5 8 111 3 1,3 3 , 3 3 . 3 3 , … , , , …23 6 22, 62 3 4 2 3 4

Ogni elemento di D è sempre minore di 3 al crescere di n. 38

Rappresentiamo sulla retta dei reali alcuni elementi dell’insieme D e il punto da verificare:

3∉ 13 è un punto di accumulazione8

Per mostrare che il punto 3 è di accumulazione per D, considero un intorno qualsiasi di 3 e faccio vedere che questo intorno contiene almeno un punto di D. (Se ne ha uno, ne ha infiniti):: ; 3 :; :<.

Prendiamo un qualunque intorno di 3, di generica ampiezza.

Poiché in D non vi sono elementi maggiori di 3, consideriamo un intorno sinistro:

>? B= @3A ;3 3 :; 3<, : ∈ 0

Avremo allora:

Mostriamo che esistono infiniti valori dell’insieme D che appartengono a tale intorno.

Affinché un punto di D appartenga all’intorno deve valere la relazione133: C33 C3risolvendo: 13: C 3 C01 C: - 6 -

De