Analisi matematica - calcolo dei limiti applicazione alla fisica

Dicembre 2021

Analisi matematica

Esercitazione sul calcolo dei limiti

Applicazione alla fisica

• Carica di un condensatore
• Funzione esponenziale
• Limiti notevoli

Carica di un condensatore

Se scatti una foto con il flash, la batteria ricomincia subito a ricaricare il condensatore del flash. La funzione che esprime la carica elettrica Q, coulomb, che si accumula in funzione del tempo t, in secondi, è:

Q(t) = a(1 − e^−t/b), t ≥ 0

dove a e b sono costanti positive.

• A. Utilizza il calcolo di un limite per stabilire qual è la carica massima che è messa a disposizione del flash.
• B. Determina il tempo necessario per ottenere il 90% della carica massima se b=4,0s.
• C. Disegna il grafico della funzione per a=2,0 C e b=1,0 s.
• D. Durante la ricarica l’intensità di corrente I(t) non è costante. Si dimostra che l’intensità di corrente all’inizio della ricarica, cioè all’istante t=0, è data da:

lim_t→0⁺ [Q(t) − Q(0)] / t

Calcola l’intensità di corrente iniziale I(0).

Svolgimento

A. Utilizza il calcolo di un limite per stabilire qual è la carica massima che è messa a disposizione del flash

t → +∞

Per stabilire la carica massima calcoliamo il limite della funzione Q(t).

lim_t→+∞ Q(t) = lim_t→+∞ a(1 − e^−t/b) = lim_t→+∞ a(1 − 1/e^t/b) = a

t → +∞, e^t/b → +∞, 1/e^t/b → 0.

Quando il termine esponenziale e^−t/b = 0, la carica massima è a.

B. Determina il tempo necessario per ottenere il 90% della carica massima se b=4,0s

Il 90% della carica massima corrisponde a 0,9a, cioè 0,9. Poniamo b = 4 e determiniamo a quale istante di tempo si raggiunge la carica di 0,9a.

0,9a = a(1 − e^−t/4)

0,9 = 1 − e^−t/4 → e^−t/4 = 1 − 0,9

e^−t/4 = 0,1 → −t/4 = ln(0,1) → t = −4 ln(0,1) ≈ 9,2 s

DANIELA PERROTTA 2

C. Disegna il grafico della funzione per a=2,0 C e b=1,0 s

Con questi valori la funzione da disegnare è:

Q(t) = 2(1 − e^−t)

Per quanto visto al punto a), la funzione tende al massimo valore di carica per t → +∞, presenta dunque un asintoto orizzontale di equazione y = a → y = 2.

La funzione è sempre positiva.