Algebra e Geometria - Esercizi

Traccia geometria ed algebra 07/02/05

Prof. Pica - Magro - Donati

1. Sottospazio vettoriale

λ ∈ R

Calcolare per ogni λ la dimensione del seguente sottospazio vettoriale di R⁴:

U_λ = L ((4,4,0,λ), (λ,λ,0,4), (0,1,1,0), (4,3,-1,λ))

• Dim U_λ ⇔ = 2
• Dim U_λ ⇔ = 3
• Dim U_λ ⇔ = 4
• Dim U_λ =  y 04 

2. Somma diretta di sottospazi

Sia W il sottospazio di R⁴ rappresentato dal sistema:

W: − =  z t 0

λ ∈ R⁴

Dire per quali λ lo spazio R⁴ è somma diretta di U_λ e di W:

R⁴ = U_λ ⊕ W

3. Endomorfismo

Sia F l’endomorfismo di R³ così definito:

F(x,y,z) = (2x+y+z,-y,3x+y)

b = ((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)) base di R³

• Determinare il nucleo di F.
• Determinare la matrice associata ad F rispetto alla base b (FACOLTATIVO).
• Determinare per ogni autovalore di F la molteplicità algebrica e geometrica.

4. Geometria nello spazio

Fissato un riferimento cartesiano nello spazio, si considerino la retta r passante per i punti A(-α1,0,1) e B(1,1,0) e il piano α = 2x+2y-z=0.

• Rappresentare la retta passante per il punto A, ortogonale alla retta r e parallela al piano α.
• Rappresentare il piano passante per A, parallelo ad r ed ortogonale ad α.
• Determinare un punto P del piano α tale che la retta per i punti A e P sia ortogonale ad α.
• Rappresentare una retta del piano α complanare con la retta r.

Illustrare brevemente lo svolgimento dell’esercizio 4c.

Teoria

• Definizione di base di uno spazio vettoriale.
• Provare che ogni spazio vettoriale finitamente generato ammette una base.
• Relazione di Grassman.
• Enunciare e dimostrare la condizione analitica di parallelismo tra due piani.

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