3 esercitazioni di analisi matematica modulo 1

Esercitazione di Analisi Matematica I

1. Disegnare il grafico della seguente funzione

   f(x) = x \log_{x} (x^x) + 1.

2. Assegnata la seguente funzione

   f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} - 3,

   1. determinare l'insieme di definizione di f;
   2. determinare l'insieme dei valori di f;
   3. verificare che f è invertibile;
   4. determinare f^{-1}, scrivendone esplicitamente insieme di definizione, insieme dei valori e legge di trasformazione.
3. Determinare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni

   f_1(x) = \sqrt{\frac{1}{4^x} - \frac{1}{2^x} - 2},

   f_2(x) = \sqrt{\log_{5}(x^2 + 10) - \log_{5}(1 - 6x)},

   f_3(x) = \sqrt{3|x+1| - 3}.

4. Scrivere forma algebrica e trigonometrica delle radici quarte del seguente numero complesso

   z = 1 + i\sqrt{3}.

Esercitazione di Analisi Matematica I

1. Disegnare il grafico della seguente funzione

   f(x) = x log_x (x^x) + 1.

2. Assegnata la seguente funzione

   f(x) = √{(x-1)/(x+1)} - 3,

   1. determinare l’insieme di definizione di f;
   2. determinare l’insieme dei valori di f;
   3. verificare che f è invertibile;
   4. determinare f^-1, scrivendone esplicitamente insieme di definizione, insieme dei valori e legge di trasformazione.
3. Determinare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni

   f₁(x) = √{1/4^x - 1/2^x - 2},

   f₂(x) = √{log₅(x² + 10) - log₅(1 - 6x)},

   f₃(x) = √{3|x+1| - 3}.

4. Scrivere forma algebrica e trigonometrica delle radici quarte del seguente numero complesso

   z = 1 + i√3.

Esercitazione di Analisi Matematica I

1. Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni x ∈ ℝ? Giustificare la risposta.
   • f₁(x) = cos (sin (x² + 1))
   • f₂(x) = sin (cos (x² + 1))
   • f₃(x) = cos (log (x² + 1))
   • f₄(x) = sin (log (x² + 1))
2. Assegnate le funzioni
   • f : x ∈]0, +∞[ → log₂ x ∈ ℝ,
   • g : x ∈ ℝ → x² ∈ [0, +∞[
   stabilire se è possibile calcolare g o f e f o g giustificando la risposta. In caso di risposta negativa, determinare delle opportune restrizioni di f e g per cui sia possibile calcolare g o f e f o g.
3. Determinare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni
   • f₁(x) = (5^2x - 5^x+1 + 4)^π
   • f₂(x) = log (√x² - 7x + 6 - x + 7)
   • f₃(x) = log (arctan |x + 1| - arctan |x - 3|)
4. Scrivere forma algebrica e trigonometrica del seguente numero complesso
   • z = (3 - 3i)⁷.