Risposte aperte Calcolo delle probabilità, 2026

Calcolo delle probabilità

Risposte alle 138 domande aperte

Docente Luigi Panetta • Scienze matematiche

Paniere generato l’11 settembre 2026

Lezione 001

06. In un sacchetto ci sono in totale 10 caramelle (Casi Possibili = 10). 6 caramelle

sono alla fragola. 10 caramelle sono alla menta. Ti vengono proposti due piccoli calcoli

veloci con le frazioni. a) se peschi una caramella a caso, qual è la probabilità che sia

alla fragola? b) Se peschi una caramella, guardi il gusto, la rimetti dentro il sacchetto e

ne peschi un'altra, qual è la probabilità di pescare una caramella alla fragola e poi

un'altra alla fragola

a) Assumendo corretto il totale di 10 caramelle e il numero di 6 alla fragola, P(fragola)=6/10=0,6.

b) Il reinserimento rende le estrazioni indipendenti: P(fragola, fragola)=(6/10)²=0,36. Il testo è

incoerente perché 6 caramelle alla fragola e 10 alla menta superano il totale dichiarato; se

fossero invece 16 caramelle complessive, i risultati sarebbero 3/8 e 9/64.

Lezione 002

08. Un ristorante vuole creare dei menù di degustazione selezionando tre tipi di vino: il

tipo A (disponibile in 4 varianti), il tipo B (disponibile in 3 varianti) e il tipo C

(disponibile in 5 varianti): a) Quanti menù diversi si possono creare scegliendo

esattamente un vino per ogni tipo (uno di A, uno di B e uno di C); b) Quanti menù si

possono ottenere se il vino di tipo B deve essere sempre una variante fissa (la prima

della lista B); c) Quanti menù diversi si possono formare escludendo completamente

una specifica variante del tipo C dal calcolo?

a) Per il principio di moltiplicazione: 4·3·5=60 menù.

b) Fissando la variante B: 4·1·5=20.

c) Escludendo una variante C, le opzioni C diventano 4: 4·3·4=48.

09. Dato il codice di sicurezza INFOCERT composto da 8 cifre (utilizzando i numeri da 0

a 9): a) Quanti codici validi si possono ottenere se le cifre si possono ripetere; b) Quanti

codici validi si possono ottenere se il codice deve iniziare con la cifra 5 e finire con la

cifra 0; c) Quanti codici validi si possono ottenere se le cifre devono essere tutte

diverse tra loro (senza ripetizioni)

a) Ogni posizione ammette 10 cifre: 10⁸=100.000.000 codici, ammettendo anche lo zero iniziale.

b) Due posizioni fisse e sei libere: 10⁶=1.000.000.

c) Senza ripetizioni: D(10,8)=10!/2!=1.814.400.

Lezione 003

06. Nel calcolo combinatorio si vogliono disporre tre oggetti a tre a tre e si vogliono

calcolare le: a) disposizioni semplici senza ripetizione; b) disposizioni semplici con

Calcolo delle probabilità • 1

ripetizione; c) permutazioni semplici senza ripetizione e combinazioni semplici senza

ripetizione

a) D(3,3)=3!/(3−3)!=6.

b) Con ripetizione: Dᵣ(3,3)=3³=27.

c) Le permutazioni semplici sono 3!=6; le combinazioni semplici C(3,3)=1, perché si sceglie

l’intero insieme senza considerarne l’ordine.

07. Indicare con quali formule si calcolano: a) le disposizioni senza ripetizione; b) le

combinazioni semplici o senza ripetizione; c) le combinazioni semplici con ripetizione

a) Disposizioni semplici: D(n,k)=n!/(n−k)!, per 0≤k≤n; l’ordine conta.

b) Combinazioni senza ripetizione: C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]; l’ordine non conta.

c) Combinazioni con ripetizione: Cᵣ(n,k)=C(n+k−1,k), per n≥1.

08. Il Responsabile del magazzino deve scegliere due prodotti A e B da un gruppo di 4

(A,B,C,D). a) Calcolare il numero di scelte possibili se l'ordine di selezione non ha

importanza; b) Calcolare il numero di scelte possibili se l'ordine è invece rilevante; c)

Specificare quale modello matematico tra "combinazioni semplici" e "disposizioni

semplici" si applica al punto a) e quale al punto b), motivando la risposta

a) Scegliendo due prodotti qualsiasi fra quattro: C(4,2)=6, ossia AB, AC, AD, BC, BD, CD.

b) Se conta l’ordine: D(4,2)=4·3=12.

c) Il primo caso usa combinazioni, il secondo disposizioni. Se il testo imponesse di scegliere

proprio A e B, anziché due elementi qualsiasi, ci sarebbero una scelta non ordinata e due

sequenze ordinate.

09. Nel calcolo combinatorio si vogliono disporre tre oggetti a tre a tre e si vogliono

calcolare le: a) disposizioni semplici senza ripetizione; b) disposizioni semplici con

ripetizione; c) permutazioni semplici senza ripetizione e combinazioni semplici senza

ripetizione

a) D(3,3)=6.

b) Con ripetizione: 3³=27.

c) Permutazioni semplici: 3!=6; combinazioni semplici: C(3,3)=1. Le prime distinguono l’ordine,

le seconde identificano soltanto l’insieme scelto.

Lezione 004

04. Indicare con quale formula si definisce: a) il coefficiente binomiale; b) il coefficiente

multinomiale; c) i coefficienti binomiali caratteristici

a) Il coefficiente binomiale è C(n,k)=n!/[k!(n−k)!].

b) Il coefficiente multinomiale è n!/(n₁!···nᵣ!), con n₁+···+nᵣ=n.

c) I valori caratteristici sono C(n,0)=C(n,n)=1 e C(n,1)=C(n,n−1)=n; valgono la simmetria

C(n,k)=C(n,n−k) e la relazione di Pascal C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k).

Calcolo delle probabilità • 2

Lezione 005

04. Indicare le proprietà delle operazioni sugli insiemi: a) idempotenza; b)

commutativa; c) associativa

a) Idempotenza: A∪A=A e A∩A=A.

b) Commutatività: A∪B=B∪A e A∩B=B∩A.

c) Associatività: (A∪B)∪C=A∪(B∪C) e (A∩B)∩C=A∩(B∩C).

05. Indicare attraverso una proposizione gli eventi: a) negazione; b) intersezione; c)

unione

a) La negazione di E è Eᶜ: «E non si verifica».

b) L’intersezione E∩F esprime «si verificano sia E sia F».

c) L’unione E∪F esprime «si verifica almeno uno fra E e F», includendo il caso in cui si verificano

entrambi.

06. Indicare le proprietà delle operazioni sugli insiemi: a) distributiva; b) De Morgan; c)

associativa

a) Distributività: A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C); A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

b) De Morgan: (A∪B)ᶜ=Aᶜ∩Bᶜ e (A∩B)ᶜ=Aᶜ∪Bᶜ.

c) Associatività: (A∪B)∪C=A∪(B∪C) e analogamente per l’intersezione.

Lezione 006

05. Da 2 lanci consecutivi di una moneta regolare, una faccia rappresenta "prodotto

difettoso", l'altra "prodotto non difettoso" (per semplicità di notazione, si utilizzino

Testa = T e Croce = C. a) Identificare formalmente lo spazio campionario Ω

dell'esperimento e definire per esteso gli insiemi degli eventi E: "esce almeno una volta

croce" ed F: "l'esito del secondo tiro è testa"; b) Calcolare la probabilità classica degli

eventi E ed F; c) Definire e calcolare la probabilità dell'evento impossibile e dell'evento

certo per questo esperimento

a) Ω={TT,TC,CT,CC}; E={TC,CT,CC}; F={TT,CT}.

b) I quattro esiti sono equiprobabili: P(E)=3/4 e P(F)=1/2.

c) L’evento impossibile è con P(∅)=0; l’evento certo è Ω, con P(Ω)=1.

∅,

Lezione 007

05. Nel singolo giro di una roulette francese standard le modalità totali del risultato

sono complessivamente 37 (numeri da 0 a 36). a) Determinare la cardinalità (numero

di elementi) dello spazio campionario Ω e specificare quanti sono i numeri della ruota

diversi dallo zero; Calcolare la probabilità classica che il numero estratto sia lo zero 0 e

la probabilità che sia un numero pari (si consideri lo zero come numero non pari); c)

Calcolare la probabilità che il risultato sia un numero compreso tra 1 e 36, definendo se

tale sottoinsieme rappresenta un evento certo, impossibile o casuale

a) Ω={0,1,…,36}, quindi |Ω|=37 e i numeri diversi da zero sono 36.

b) P(0)=1/37≈0,027027; i pari non nulli sono 18, quindi P(pari)=18/37≈0,486486.

Calcolo delle probabilità • 3

c) P(1≤X≤36)=36/37≈0,972973: è un evento casuale, perché non include lo zero.

Lezione 008

04. Definire gli assiomi della probabilità: a) positività; b) certezza; c) unione:

a) Non negatività: P(A)≥0 per ogni evento A.

b) Normalizzazione: P(Ω)=1.

c) Additività numerabile: per eventi A₁,A₂,… a due a due disgiunti, P(∪Aᵢ)=ΣP(Aᵢ). Per due eventi

qualsiasi si ricava P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).

05. Nel Lancio di un singolo dado a 6 facce truccato Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6} la Probabilità

faccia 6: P(6) = 0.4, la Probabilità altre facce: Le restanti facce (da 1 a 5) sono

equiprobabili tra loro: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = x). a) Determinare la

probabilità P(1) che esca la faccia 1, applicando gli assiomi fondamentali della

probabilità; b) Calcolare la probabilità che l'esito del lancio sia un numero dispari; c)

Calcolare la probabilità che l'esito del lancio sia un numero strettamente minore di 6

a) Da 5x+0,4=1 segue x=P(1)=0,12.

b) I dispari sono 1,3,5: P(dispari)=3·0,12=0,36.

c) P(X<6)=5·0,12=0,60.

Lezione 009

05. Dato l'evento E con P(E) = 0.9, calcolare:a) La probabilità dell'evento reciproco

P(Ē); b) La probabilità dell'evento impossibile P(∅); c) La probabilità dell'unione P(F U

E) se P(F) = 0,4 e P(F E) = 0,2

∩

a) P(Eᶜ)=1−0,9=0,1.

b) P(∅)=0.

c) La formula darebbe 0,4+0,9−0,2=1,1, ma una probabilità non può superare 1. I dati sono

incompatibili: deve essere P(E∩F)≥P(E)+P(F)−1=0,3.

06. Dati gli eventi E1, E2, E3, E4, E5 appartenenti a Ω, con probabilità: P(E1) = 0,2;

P(E2) = 0,1; P(E3) = 0,15; P(E4) = 0,5; P(E5) = 0,05 Calcolare e verificare: a) La

somma totale delle probabilità degli eventi per verificare l'appartenenza a Ω; b) La

probabilità dell'evento reciproco di E4, ovvero P(Ē4); c) La probabilità della differenza

P(E1 - E2) sapendo che E2 appartiene a E1

a) La somma è 0,2+0,1+0,15+0,5+0,05=1. Questo descrive una distribuzione su una partizione

soltanto se gli eventi sono disgiunti ed esaustivi; la sola somma non prova tali proprietà.

b) P(E₄ᶜ)=0,5.

c) Se E₂⊆E₁, P(E₁∖E₂)=0,2−0,1=0,1. Tale inclusione impedisce però di trattare

contemporaneamente tutti gli Eᵢ come classi disgiunte. Calcolo delle probabilità • 4

Lezione 010

06. Definire le definizioni di; a) esperimento empirico; b) esperimento aleatorio; c)

probabilità dell’evento

a) Un esperimento empirico è un’osservazione o prova svolta concretamente per raccogliere dati.

b) Un esperimento aleatorio ha esito non prevedibile con certezza, pur essendo definibili le

condizioni e l’insieme degli esiti possibili.

c) La probabilità è una misura normalizzata sugli eventi; nel caso finito equiprobabile

P(E)=|E|/|Ω|. La frequenza relativa può stimarla mediante ripetizioni.

07. Dall’estrazione di una singola carta da un mazzo di 40 carte specidiche (composto

da 4 semi: bastoni, coppe, denari, spade) ogni seme ha 10 carte, di cui 3 sono figure

(Fante, Cavallo, Re) e 1 è un Asso. a) Determinare il numero totale di figure e il numero

totale di assi nel mazzo, calcolando poi la probabilità che la carta estratta sia una figura

oppure un asso; b) Calcolare la probabilità che la carta estratta sia una figura del seme

di denari oppure un asso di qualsiasi seme; c) Specificare se gli eventi "estrarre una

figura" ed "estrarre un asso" sono eventi compatibili o incompatibili, motivando la

risposta in base alla definizione matematica

a) Le figure sono 4·3=12 e gli assi 4. Gli eventi sono disgiunti: P(figura oppure asso)=16/40=0,4.

b) Figure di denari: 3; assi: 4; probabilità=7/40=0,175.

c) Sono incompatibili perché nessuna carta è insieme figura e asso: F∩A=∅.

Lezione 011

07. Dati i valori di P(E)=0,26, P(F)=0,30 e P(E|F)=0,16 calcolare; a) la probabilità

unione P(E∪F) per eventi compatibili o congiunti; b) la probabilità unione P(E∪F) per

eventi congiunti; c) la probabilità unione P(E∪F) per eventi incompatibili o disgiunti

a) P(E∩F)=P(E|F)P(F)=0,16·0,30=0,048; quindi P(E∪F)=0,26+0,30−0,048=0,512.

b) La richiesta ripete il caso compatibile: l’unione resta 0,512; se si intendeva l’intersezione,

questa vale 0,048.

c) Nell’ipotesi separata di incompatibilità, l’unione varrebbe 0,56. Questa ipotesi è però

incompatibile con P(E|F)=0,16>0.

08. Dati i valori di P(E)=0,26, P(F)=0,30 e P(E|F)=0,16 calcolare; a) la probabilità

unione P(E∪F) per eventi compatibili o congiunti; b) la probabilità unione P(E∪F) per

eventi congiunti; c) la probabilità unione P(E∪F) per eventi incompatibili o disgiunti

a) L’intersezione vale 0,16·0,30=0,048 e l’unione 0,512.

b) Per eventi congiunti si applica ancora P(E∪F)=P(E)+P(F)−P(E∩F)=0,512; l’intersezione è

0,048.

c) Se fossero disgiunti, P(E∪F)=0,56, ma allora P(E|F)=0: non si possono mantenere

simultaneamente tutti i dati del testo.

09. Da un totale esami svolti: 30 esami complessivi, così suddivisi per livello di tossicità

si è rilevato che 15 esami con tossicità dell'1%; 10 esami con tossicità del del 2% e 5

esami con tossicità del 3%. a) Determinare la cardinalità (numero totale di elementi)

dello spazio campionario Ω relativo alla scelta del campione di 6 esami; b) Calcolare la

Calcolo delle probabilità • 5

probabilità classica che il campione estratto contenga esattamente 3 esami con

tossicità dell'1%, 2 esami con tossicità del 2% e 1 esame con tossicità del 3%; c)

Calcolare la probabilità che tutti e 6 gli esami scelti appartengano esclusivamente al

gruppo con tossicità dell'1%.

a) Per una scelta casuale non ordinata senza reinserimento: |Ω|=C(30,6)=593.775.

b) P=C(15,3)C(10,2)C(5,1)/C(30,6)=102.375/593.775≈0,172414.

c) P=C(15,6)/C(30,6)=5.005/593.775≈0,008429.

Lezione 012

09. Calcolare la probabilità di ottenere testa lanciando due monete: a) in due lanci

consecutivi; calcolare la probabilità di lanciare due dadi: b) ottenere un punteggio pari

a 12; calcolare la probabilità di fare ambo a tombola: c) con i primi due numeri estratti:

a) Se si richiedono due teste in due lanci indipendenti di una moneta equa: P=1/4. Almeno una

testa nei due lanci avrebbe probabilità 3/4. Se si intendono due monete per ciascuno di due turni

e tutte teste, P=1/16.

b) La somma 12 si ottiene solo con (6,6): P=1/36.

c) Per due numeri prefissati, P=1/C(90,2)=1/4.005. Se «fare ambo» significa ottenere qualsiasi

coppia fra k numeri posseduti, P=C(k,2)/C(90,2).

10. Sugli eventi complessi e relative probabilità si vogliono svolgere i seguenti calcoli:

a) P(E)= 0,71; P(F)=0,11 e P(E∩F)=0,55 calcolare la probabilità condizionata P(E|F); b)

Date la probabilità intersezione di due Eventi E ed F dipendenti pari a 0,19 e la

probabilità dell'Evento E condizionato ad F pari a 0,76 calcolare: a) la probabilità

dell'Evento E condizionato all'evento F P(E|F); c) P(E|F )=0,48 e P(E)=0,33 e

P(E∩F)=0,32 calcolare P(F):

a) La formula produce P(E|F)=0,55/0,11=5: i dati sono impossibili perché P(E∩F)>P(F).

b) La probabilità condizionata è già data: 0,76. Se la domanda intende P(F),

P(F)=0,19/0,76=0,25.

c) P(F)=0,32/0,48=2/3≈0,666667. Con P(E)=0,33 questa parte è coerente.

11. Sugli eventi complessi e relative probabilità si vogliono svolgere i seguenti calcoli:

a) Trovare la probabilità di estrarre a) il re di fiori oppure l'asso di cuore da un mazzo di

52 carte; b) da un sacchetto con 20 palline rosse, 30 rosse e 40 bianche: trovare la

probabilità di estrarre una pallina rossa oppure bianca; c) Trovare la probabilita' che

estraendo una carta da un mazzo di 40 essa sia un asso oppure una figura:

a) Sono due carte distinte: P=2/52=1/26≈0,038462.

b) Come scritto, le palline sono 50 rosse e 40 bianche: P(rossa oppure bianca)=90/90=1. Non si

può sostituire tacitamente un colore al secondo gruppo di rosse.

c) Quattro assi e dodici figure disgiunti: P=16/40=0,4. Calcolo delle probabilità • 6

Lezione 013

07. A proposito della statistica bayesiana: a) spiegare su quale concetto di probabilità si

fonda; b) spiegare che essa è definita anche come statistica delle cause; c)

rappresentare la configurazione dello spazio campionario

a) L’approccio bayesiano interpreta la probabilità come grado di incertezza coerente e aggiorna

una distribuzione a priori mediante i dati.

b) È detto «delle cause» perché risale dalle osservazioni alle ipotesi:

P(Hᵢ|D)=P(D|Hᵢ)P(Hᵢ)/ΣⱼP(D|Hⱼ)P(Hⱼ).

c) Le ipotesi H₁,…,Hₖ formano una partizione di Ω; D interseca ciascuna Hᵢ. Normalizzando le

masse P(D∩Hᵢ) entro D si ottiene la distribuzione a posteriori.

Lezione 014

06. Data la seguente distribuzione di frequenza della v.c. discreta x (0,1,2,3) con

f(x)(0.90, 0.07, 0.02, 0.01) calcolare: a) la funzione di probabilità; b) il valore atteso; c)

varianza e deviazione standard

a) p(0)=0,90; p(1)=0,07; p(2)=0,02; p(3)=0,01; p(x)=0 altrove. La somma vale 1.

b) E(X)=0,07+0,04+0,03=0,14.

c) E(X²)=0,07+0,08+0,09=0,24; Var(X)=0,24−0,14²=0,2204; σ≈0,469468.

Lezione 015

07. Data una funzione di ripartizione per una v.c. discreta: a) descrivere la notazione;

b) elencare le relative proprietà; c) descrivere cosa si trova sull'asse delle ordinate del

relativo grafico

a) F(x)=P(X≤x)=Σₜ≤ₓp(t).

b) È non decrescente, continua da destra, compresa in [0,1], con limiti 0 per x→−∞ e 1 per

x→+∞; il salto nel punto t è P(X=t).

c) In ordinata si trova la