Velocità punto materiale

Velocità punto materiale

Si calcoli la velocità v di un punto materiale di massa m = 3 kg che scende su un piano inclinato di un angolo α = 25° dopo un tragitto di lunghezza L = 10 m, sapendo che parte da fermo e che il coefficiente di attrito dinamico vale μ_D = 0.3. Se si considera anche una forza d'attrito viscoso del tipo F_V = -kv con k= 0.4 kg/s, quanto vale la velocità limite V che raggiunge, nell'ipotesi che il piano inclinato sia sufficientemente lungo e che parta con velocità iniziale v₀ = 20 m/s?

Forze lungo gli assi

Fissando un sistema cartesiano con l'asse x lungo il piano inclinato con verso positivo in discesa, l'asse y perpendicolare al piano verso l'alto e avente origine dove inizia a scendere il punto materiale, possiamo scrivere la forza totale che agisce sul corpo lungo ogni asse nel modo seguente:

• F_x^tot = P ⋅ sin α − μ_DP ⋅ cos α
• F_y^tot = − P ⋅ cos α + R

Dove P = mg è la forza peso esercitata dalla gravità sul punto materiale e R è la resistenza del piano inclinato. Lungo l’asse y non c’è moto, dunque possiamo porre F_tot = 0 da cui la resistenza R = P ⋅ cos α. Lungo l’asse delle x possiamo scrivere invece:

F_x^tot = ma = mg(sin α − μ_D cos α)

Dove a è l’accelerazione del punto materiale lungo x. Il moto è dunque uniformemente accelerato con accelerazione costante data da:

a = g(sin α − μ_D cos α)

Sostituendo i dati disponibili, cioè α = 25°, μ_D = 0.3 e la costante g = 9.81 m/s², si ottiene il valore numerico:

a = 9.81(sin 25° − 0.3 ⋅ cos 25°) ≈ 1.479 m/s²

Moto uniformemente accelerato

Per il moto uniformemente accelerato possiamo scrivere, per un tragitto L partendo da fermo:

• L = ¹⁄₂ at²
• v = at

Combinando queste due equazioni si ottengono:

• L = ¹⁄₂ ^v2⁄_a

Da cui la velocità per un tragitto L è:

v = √2aL

Numericamente, sostituendo i dati L = 10 m e a = 1.479 m/s², si ottiene:

v = √2 · 1.479 · 10 ≈ 5.439 m/s

Forza di attrito viscoso

Aggiungendo, lungo l'asse x, una forza di attrito viscoso del tipo F_v = -k·v si ha, con riferimento alle equazioni precedenti, l'equazione del moto modificata:

m_Dv/dt = mg(sin α − μ_Dcos α) − kv

Introducendo le costanti:

• A = g(sin α − μ_Dcos α)
• B = k/m

L’equazione del moto diventa:

dv/dt = A − Bv

Che risulta essere un’equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficienti costanti e a variabili separabili. Intanto, sostituendo i dati α = 25°, μ_D = 0.3, k = 0.4 kg/s, m = 3 kg e la costante g = 9.81 m/s², si ottengono i seguenti valori per le due costanti introdotte:

• A ≈ 1.479 m/s²
• B ≈ 0.133 s⁻¹

Soluzione dell'equazione differenziale

Risolvendo l’equazione differenziale otteniamo:

dv/dt = A − Bv

dv/(A − Bv) = dt

∫_v0^v(t) ⁢ dv/(A − Bv) = ∫₀^t ⁢ dt

Dove abbiamo imposto la condizione al contorno che il punto materiale parte con velocità iniziale v₀. Calcolando l'integrale si hanno:

−[_v=v0^v=v(t) ln(A − Bv) / B] = t

ln(A − Bv(t)) − ln(A − Bv₀) = −Bt

ln((A − Bv(t)) / (A − Bv₀)) = −Bt

(A − Bv(t)) / (A − Bv₀) = e^−Bt

A − Bv(t) = (A − Bv₀)e^−Bt

Da cui:

v(t) = A/B + (v₀ − A/B)e^−Bt

Calcolo della velocità limite

Per calcolare la velocità limite, detta V, occorre effettuare il limite: