Un'osservazione sulla uniforme convergenza di successioni di funzioni reali

Osservazioni sulla uniforme convergenza

Fare un’osservazione

Vogliamo elementare su una equivalenza che compare in alcuni testi di

Analisi 2 e che, così come è ivi riportata, può indurre una convinzione errata.

In questi testi, infatti, si dice che una successione di funzioni reali definite in un insieme J di

numeri reali converge uniformemente in J verso una funzione f se, per ogni , esiste un indice

tale che e J (1)

poi, si afferma che, equivalentemente, la successione f converge uniformemente in J verso f, se,

n

per ogni , esiste un indice tale che

sup < (2)

lasciando intendere che l’indice nella (2) sia lo stesso riportato nella (1) (anche se, un lettore, più

attento, intenderà bene che non sia così).

La nostra osservazione è che l’indice suddetto non può essere lo stesso nella (1) e nella (2). Per

questo, per comodità di qualcuno, anche, sia detto senza offesa, di alcuni insegnanti (a tutti, anche

su questioni elementari, può capitare di avere qualche dubbio, non credo ci si debba vergognare) ci

attarderemo a dimostrare (pedissequamente) nei dettagli la doppia implicazione, sostituendo la

seconda affermazione con la seguente: la successione f converge uniformemente in J verso f, se,

n

per ogni , esiste un indice tale che

sup < (3)

dimostreremo l’equivalenza della (1)

cioè, in pratica, con la (3).

Supponiamo, allora, che valga la (1); si ha che dalla (1) consegue subito che

sup ≤ (4)

(se fosse sup > per qualche n, posto = sup,

per le proprietà dell’estremo superiore, dovrebbe esistere un , tale che

appartenerebbe all’intervallo , in evidente contraddizione con la (1)).

Poiché, evidentemente, la (1) vale per ogni , scelto , è possibile trovare tale che

si abbia: e J; (5)

se fosse: sup

, per le proprietà dell’estremo superiore, nell’insieme J si potrebbe trovare un

per qualche m >

x’ tale che appartenga all’intervallo , cioè tale che:

>

In evidente contraddizione con la (5). Da ciò discende che vale la (4), pur di sostituire e

il segno “≤” con il segno “<”, quindi vale la (3) dove si è indicato con , cioè ).

Infine, concludiamo osservando che l’implicazione inversa ( ) è banalmente soddisfatta,

per ovvie proprietà dell’estremo superiore. Era quanto si voleva

anche supponendo = ,

dimostrare. Prof. Salvatore Antonucci