Trasformazioni geometriche nel piano: percorso didattico con Cabri

SSIS PUGLIA

Scuola Regionale Interateneo di Specializzazione per la Formazione degli Insegnanti della Scuola

Secondaria

Relazione Finale Sull’attività Di Tirocinio

Indirizzo: Fisico-Informatico-Matematico

Classe di abilitazione: A049 (Matematica e Fisica)

Supervisore: Prof. Lucio Vernich

Tutor: Prof. Domenico Masella Specializzanda: Maria Spagnulo

Biennio Accademico 2004/06 Il liceo Moscati

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S M .....................................................................................................6

UDDIVISIONE ACROSCOPICA

S ...............................................................................8

UDDIVISIONE DETTAGLIATA DEI CONTENUTI

CONTENUTO A ..................................................................................................................................... 8

’ .........................................................8

INTRODUZIONE ALL ARGOMENTO DELLE TRASFORMAZIONI

L A ................................................................................................................................17

E FFINITÀ

Approccio intuitivo ................................................................................................................................ 17

T . ...................................................................................................19

IPI PARTICOLARI DI AFFINITÀ

CONTENUTO B: Le isometrie piane.................................................................................................... 20

S ...................................................................20

IMMETRIE ASSIALI O RIBALTAMENTI O RIFLESSIONI

F Simmetria assiale di asse quello delle ascisse.............................................................. 25

Simmetria assiale di asse quello delle ordinate ................................................................ 26

Simmetria assiale di asse una retta parallela all’asse delle ascisse................................. 26

Simmetria assiale di asse una retta parallela all’asse delle ordinate .............................. 26

Simmetria assiale di asse la bisettrice del 1° e 3° quadrante di equazione y = x ........... 26

Simmetria assiale di asse la bisettrice del 2° e 4° quadrante di equazione y = - x ......... 27

Simmetria assiale di asse una retta non parallela agli assi coordinati ............................ 27

CONTENUTO C: Composizione di simmetrie ..................................................................................... 28

L ..........................................................................................................................28

E TRASLAZIONI

L ........................................................................................................................30

E ROTAZIONI

L .............................................................................................................................31

E ROTAZIONI

Rotazioni particolari ......................................................................................................... 32

L .............................................................................................................35

E SIMMETRIE CENTRALI

CONTENUTO D: Le omotetie .............................................................................................................. 37

C .....................................................................................37

ONCETTI INTRODUTTIVI E DEFINIZIONE

O ........................................................................................................38

MOTETIE PARTICOLARI

L ..........................................................................................................................41

E SIMILITUDINI

N : ............................................................43

CJ OTA STORICA LE TRASFORMAZIONI E LA MUSICA

N : .....................................................................44

OTA STORICA LE TRASFORMAZIONI E LA MUSICA

U : ......................................................................................45

N ESEMPIO APPLICATIVO IL BILIARDO

Bibliografia ...........................................................................................................................................49

essa

Dott. Maria Spagnulo

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

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† I NTRODUZIONE

Con la presente unità didattica si vuole delineare un percorso che consenta allo studente di

comprendere il concetto di Trasformazione Geometrica e classificarne le varie tipologie sia

dal punto di vista grafico che dal punto di vista analitico. L’attività si è svolta

fondamentalmente in laboratorio d’Informatica tramite l’utilizzo di slide e del programma

Cabri che sono stati presentati in parallelo per dare la possibilità allo studente di verificare

immediatamente le proprietà che di volta in volta vengono enunciate e di costruire egli stesso

alcune trasformazioni particolari che si possono ottenere dalla composizione di altre viste in

precedenza.

All’inizio di ogni lezione ho riassunto gli argomenti della lezione precedente tramite un rapido

scambio di battute con il gruppo classe e tramite l’utilizzo di mappe concettuali, così come al

termine di ogni lezione sempre tramite l’utilizzo di mappe concettuali ho tracciato un breve

riassunto evidenziando le parti più significative. Ho esplicitato le conoscenze e competenze

richieste per ogni porzione di contenuto. Al termine del percorso ho proposto un test finale da

me redatto con scopo di verifica sommativa sul raggiungimento degli obiettivi dichiarati; ho

comunicato anche la percentuale per cui ogni esercizio concorre alla valutazione totale. Il

compito, corretto e valutato, è stato riconsegnato in classe con una correzione collettiva e un

commento individualizzato per ogni alunno.

† C

OLLOCAZIONE NEL CURRICOLO

L’argomento va inserito o nel secondo bimestre di una III liceo scientifico PNI o nell’ultimo

modulo della programmazione curriculare di una III liceo scientifico tradizionale.

† 14 ORE

:

TEMPO RICHIESTO

† P

REREQUISITI

9 Conoscenza degli elementi fondamentali della geometria euclidea;

9 Conoscenza degli elementi fondamentali del piano cartesiano;

9 Eventuale conoscenza di elementi di Geometria dello spazio

9 Conoscenza degli elementi fondamentali dell’algebra delle matrici;

9 Conoscenza degli elementi fondamentali delle funzioni trigonometriche e delle loro

proprietà;

9 Risoluzione di equazioni, sistemi e disequazioni. 4

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

9 Concetto di congruenza

9 Perpendicolarità e parallelismo fra rette

9 Concetto di relazione e funzione

9 Elementi di calcolo matriciale

9 Concetto di vettore e le operazioni relative

† O C

BIETTIVI OGNITIVI

9 Conoscere le definizioni delle trasformazioni geometriche presentate e le relative

equazioni

9 Acquisire il concetto di trasformazione del piano

9 Acquisire dimestichezza con i vari tipi di trasformazioni

9 Saper enunciare i teoremi relativi

† O O

BIETTIVI PERATIVI

9 Saper ricavare le equazioni di una trasformazione

9 Saper ricavare l’espressione analitica dalla curva trasformata

9 Riconoscere il tipo di trasformazione e classificarle

9 Applicare i teoremi relativi

9 Saperle applicare alla Fisica (moti relativi)

9 Costruire la figura trasformata di una data

9 Costruire ingrandimenti e riduzioni in scala di una figura piana

9 Individuare gli invarianti di una trasformazione

9 Riconoscere figure simmetriche

9 Classificare i poligoni in base alle loro proprietà di simmetria

9 Riconoscere figure omotetiche e disegnare la corrispondente in una omotetia di una

figura

9 Effettuare la traslazione di una figura

9 Effettuare la rotazione di una figura

9 Trovare il vettore che caratterizza una traslazione

9 Eseguire una trasformazione con Cabri

† O F

BIETTIVI ORMATIVI

9 Uso di un linguaggio pertinente e appropriato

9 Saper scegliere la migliore strategia tra quelle proposte (sintetica, analitica o grafica)

per la risoluzione di problemi

9 Sviluppare la capacità di rilevare la presenza di isometrie in natura e nelle opere

artistiche 5

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

9 Sviluppare capacità intuitive, logiche, analitiche e sintetiche

9 Acquisire l’attitudine a riesaminare criticamente ed a sistemare logicamente quanto

viene via via appreso

9 Acquisire l’attitudine a studiare ogni questione attraverso l’analisi di tutti i suoi fattori.

† M EZZI

9 Libro di testo

9 Lavagna e gesso

9 Fotocopie

9 Lucidi

9 Presentazione con MS-Power Point

9 Laboratorio d’Informatica

† C

ONTENUTI # S M :

UDDIVISIONE ACROSCOPICA

9 Contenuto A: 3 ore

‚ Introduzione all’argomento delle trasformazioni;

‚ Esempi di figure trasformate mediante trasformazioni geometriche di vario tipo

(ombre, foglio di gomma, movimento della giostra, specchi, caleidoscopio);

‚ Definizione di affinità;

‚ Proprietà delle affinità;

‚ Equazioni delle affinità;

‚ Classificazione delle affinità

9 Contenuto B: 3 ore

‚ Definizione di isometria

‚ Proprietà delle isometrie

‚ Classificazione delle isometrie

‚ Definizione di simmetrie

‚ Classificazione delle simmetrie:

- simmetrie assiali

- simmetrie centrali

‚ Proprietà delle simmetrie

‚ Equazioni delle simmetrie

‚ Figure dotate di un asse di simmetria

9 Contenuto C: 3 ore 6

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

‚ Composizione di simmetrie:

- Traslazione

- Rotazione

- Simmetria centrale

9 Contenuto D: 3 ore

‚ Definizione, Proprietà, Equazioni e Classificazione di omotetie con cenni di

richiamo a uguaglianza e similitudine (k = 1, k diverso da 1)

‚ Nota storica: Le Trasformazioni e la Musica

‚ Un esempio applicativo: Il Biliardo

9 Contenuto E: 1 ora

‚ Verifica formativa/sommativa

† M ETODOLOGIE

9 “Problem-solving”

9 Intergruppo

9 Lezione frontale

9 Lezione in laboratorio d’Informatica: utilizzo di Cabri; volte alla scoperta di nessi,

relazioni e leggi

9 Esercitazioni guidate.

9 Esercizi a casa

† V .

ERIFICA E VALUTAZIONE

Le verifiche saranno di due tipi in itinere e sommativa, la valutazione seguirà la griglia di

valutazione del POF.

‚ Tipo di verifica: orale, scritta (tramite prova strutturata).

† A TTIVITÀ DI RECUPERO

Ripetizione, tramite mappe concettuali e applicazione degli argomenti alla geometria

descrittiva, dei contenuti fondamentali e delle proprietà fondamentali sia tramite lezione

frontale sia tramite approfondimenti in laboratorio.

† V ERIFICA DI RECUPERO

‚ Tramite prova orale e scritta. 7

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

# S

UDDIVISIONE DETTAGLIATA DEI CONTENUTI

CONTENUTO A

’

INTRODUZIONE ALL ARGOMENTO DELLE TRASFORMAZIONI

) Idea intuitiva

Per introdurre le trasformazioni geometriche sono partita direttamente dalla figura seguente:

Ho posto i ragazzi dinanzi all’osservazione delle figure A, B, C, D, F per cercare di farli capire

intuitivamente quale nesso poteva legarle.

Figura 1: Alcune trasformazioni della figura F

Ho quindi osservato che, due figure piane (rappresentate su un sistema monometrico) sono

uguali se sono completamente sovrapponibili (questo si può ottenere ricalcando una figura

qualsiasi (originale) su un supporto trasparente come un foglio lucido o una lastra di vetro

che cosa succederebbe se invece di ricalcare semplicemente,

VDomanda stimolo:

proiettassimo tramite una lampada, la figura origine su un foglio inclinato, oppure ricalcassimo

su un supporto ondulato, cioè non piano?

Potremmo osservare le trasformazioni proposte in Figura.

In particolare, possiamo costruire una funzione che trasforma le coordinate (x,y) di ogni punto

della figura originale nelle coordinate (x',y') di ogni punto corrispondente della figura

trasformata. Di che tipo è questa particolare funzione?

VDomanda stimolo:

Non può essere una funzione qualunque. Ad es.: l’applicazione (x,y) → (x',y') = (2x,y)

raddoppia le x, per cui i punti della figura verrebbero trasformati nei punti della figura che

F C,

è alta come ma più larga; l’applicazione (x,y) → (x',y') = (x/3,y/3) trasforma in con la

F F B,

stessa forma ma più piccola (il fattore di scala è 1/3); mentre la figura è stata ottenuta

D

più complicata; ha un'evidente

trasformando i punti di con una funzione (x,y) → (x',y') D

F 8

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

"parentela" con (anch'essa è formata da una curva con 4 "punti angolosi" che ha al suo

F

interno una curva "liscia", …), ma è deformata come se fosse stata tirata in varie direzioni.

Invece la figura sembra essere ottenibile mediante uno scorrimento di un vetro su cui si sia

A

ricalcata (con "far scorrere" il vetro intendo sia trascinarlo che cambiarne l'orientamento, cioè

F

ruotarlo).

In modo del tutto intuitivo li ho portati quindi a capire che esistono in generale vari tipi di

trasformazioni: quelle che trasformano una figura in una congruente, quelle che la trasformano

in una simile e infine quelle che la deformano.

D’altra parte la vita quotidiana ci presenta una molteplicità di esempi di trasformazioni che noi

osserviamo, anche se la nostra attenzione è spesso più rivolta a cogliere gli aspetti e le

caratteristiche dell’oggetto trasformato piuttosto che al procedimento che ha determinato la

trasformazione stessa. Nella figura seguente sono mostrati alcuni esempi di trasformazione:

Il caso a) è un esempio di trasformazione che non conserva alcuna delle caratteristiche

geometriche della figura iniziale.

Il caso b) è un esempio di trasformazione in cui il disegno del cartello e la sua fotografia

presentano a stessa forma. 9

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

Il caso c) è un esempio di trasformazione in cui ogni punto interno o esterno al tessuto disteso

rimane interno o esterno al tessuto tirato in più direzioni. In generale esempi comunissimi sono

costituiti dalle deformazioni che subiscono i corpi elastici: si pensi alla deformazione che

subisce una gomma per cancellare quando viene piegata o ad un taglio di stoffa “stretch” che

viene deformato senza che si verifichino lacerazioni o sovrapposizioni.

Il caso d) è un esempio di trasformazione che conserva i punti interni ed esterni e mantiene

l’allineament dei punti.

La cosa interessante è che una figura può essere trasformata mediante delle relazioni che

saranno rappresentate da equazioni matematiche.

‡ Attività stimolo

Per far visualizzare agli studenti le caratteristiche delle trasformazioni si può fare una semplice

esperienza utilizzando una tela elastica su cui viene disegnato un rettangolo e facendo osservare

la figura ottenuta dilatando la tela. Le domande che si possono porre agli studenti sono le

seguenti:

- la figura ha ancora gli angoli retti?

- la figura ha mantenuto i lati della stessa lunghezza?

- la figura ha ancora i lati paralleli?

- la figura ha ancora i lati rettilinei?

- se disegnassi il rettangolo con i lati paralleli al “bordo della tela”, che figura otterrei?

Disegnare la figura prevista.

La stessa esperienza può essere ripetuta disegnando un cerchio e ponendo le seguenti domande:

- la figura è ancora un cerchio?

- la figura ha mantenuto tutti i raggi della stessa lunghezza?

- i diametri rimangono rettilinei?

Il concetto di trasformazione geometrica è poi essenziale in tutti i processi di rappresentazione

piana di un oggetto tridimensionale.

Semplici esempi sono forniti al riguardo dal disegno “dal vero” o dalla fotografia che

costituiscono la rappresentazione in due dimensioni di un oggetto tridimensionale.

Altro esempio è dato dalle carte geografiche la cui realizzazione è legata al problema di

rappresentare su un piano una parte di superficie sferica. La parte di superficie terrestre che si

rappresenta viene trasformata poiché ogni suo punto dovrà essere proiettato sul foglio di carta.

Un altro esempio comune di trasformazione dovuta alla rappresentazione su una superficie di

oggetti tridimensionali è l’immagine riflessa in uno specchio: si ottengono trasformazioni

10

Unità didattica di Matematica: Le trasformazioni geometriche

diverse a seconda che lo specchio sia piano, convesso con curvatura in orizzontale oppure

convesso con curvatura in verticale.

Altri comunissimi esempi di trasformazioni geometriche nella vita quotidiana sono gli

ingrandimenti fotografici e le ombre prodotte da sorgenti luminose puntiformi o estese come il

sole.

Esempi analoghi sono costituiti dalla proiezione di diapositive con il proiettore disposto

secondo diverse inclinazioni ri