Concetti Chiave
- I sistemi algebrici non accumulano energia e generano l'uscita moltiplicando l'ingresso per una costante reale.
- I sistemi dinamici, dotati di componenti capaci di accumulare energia, producono un'uscita che varia nel tempo rispetto all'ingresso.
- Nei sistemi dinamici, l'uscita è influenzata dalla funzione di ingresso e dallo stato iniziale del sistema.
- Il legame tra ingresso e uscita nei sistemi dinamici è descritto da un'equazione differenziale, la cui soluzione può essere una funzione esponenziale.
- Le trasformazioni nel dominio complesso semplificano il legame tra uscita e ingresso, riportandolo a una forma algebrica attraverso operatori matematici.
Si prenda in considerazione un sistema continuo (segnali di tipo analogico) e si supponga inoltre che tale sistema sia lineare e di tipo invariante; a questo punto sono possibili due situazione:
Comportamento dei sistemi algebrici
Il primo caso descrive il comportamento di un sistema algebrico, ossia privo di elementi capaci di accumulare energia: l’uscita è determinabile moltiplicando l’ingresso per una costante reale.
Il secondo caso descrive, invece, il comportamento di un sistema dinamico, ossia con componenti in grado di accumulare energia (ad esempio un circuito elettrico comprendente induttanze). L’uscita ha un forma diversa da quella della funzione che descrive il segnale applicato in ingressi.
Equazioni differenziali nei sistemi dinamici
Occorre aggiungere che, nei sistemi dinamici, l’andamento dell’uscita dipende, oltre che dalla funzione i(T), anche dallo stato del sistema all'istante iniziale.
Nei sistemi dinamici il legame tra uscita e ingresso è costituito da un equazione differenziale; la soluzione a questa equazione differenziale è una funzione (ad esempio una funzione esponenziale).
Trasformazioni nel dominio complesso
Bisogna eseguire quindi una trasformazione che consiste nel sostituire alle funzioni definite nel dominio, funzioni definite nel dominio di una variabile complessa. La trasformazione è ottenuta applicando alle funzioni definite nel tempo, un operatore matematico definito C’è poi anche un operatore chiamato L’operatore di Anti Trasformata è indicato dalla notazione Dopo la trasformazione il legame tra uscita e ingresso torna ad essere di tipo algebrico.
Da ricordare che per distinguere le funzioni del tempo dalle corrispondenti “L - trasformate”, si usa rappresentare le funzioni trasformate con la lettera maiuscola.
Domande da interrogazione
- Qual è la differenza principale tra un sistema algebrico e un sistema dinamico?
- Come si stabilisce il legame tra uscita e ingresso nei sistemi dinamici?
- Qual è il ruolo delle trasformazioni nel dominio complesso nei sistemi continui?
Un sistema algebrico non ha elementi che accumulano energia e l'uscita è determinata moltiplicando l'ingresso per una costante reale, mentre un sistema dinamico ha componenti capaci di accumulare energia e l'uscita dipende dallo stato iniziale del sistema e dalla funzione di ingresso (come descritto nel testo).
Nei sistemi dinamici, il legame tra uscita e ingresso è descritto da un'equazione differenziale, la cui soluzione è una funzione, come ad esempio una funzione esponenziale (come indicato nel testo).
Le trasformazioni nel dominio complesso sostituiscono le funzioni definite nel tempo con funzioni in una variabile complessa, permettendo di ripristinare un legame algebrico tra uscita e ingresso dopo l'applicazione di un operatore matematico (come menzionato nel testo).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
