Riassunto esame Teoria dei sistemi, prof. Monaco

Rappresentazioni lineari

Lo studio di fenomeni fisici conduce alla formulazione di descrizioni matematiche: sistemi di equazioni differenziali che permettono di esprimere le legame tra ingressi e uscite tramite variabili interne dette "lo stato".

Ci occupiamo di rappresentazioni lineari e stazionarie, ovvero che ammettono funzione generatrice f(x,u) e trasformazioni in uscita h(x,u) lineari nelle variabili (x,u).

La rappresentazione con lo stato diventa quindi

x(t) = f(x(t), u(t)) = A x(t) + B u(t)
y(t) = h(x(t), u(t)) = C x(t) + D u(t)
x(t₀) = x₀ ∈ Rⁿ

Quindi se n = dimensione del vettore x
p = numero di ingressi, dimensione del vettore u
q = numero di uscite, dimensione del vettore y

• A ∈ mat (n x n) - Matrice dinamica
• B ∈ mat (n x p) - Matrice degli ingressi
• C ∈ mat (q x n) - Matrice di trasformazione dello stato in uscita
• D ∈ mat (q x p) - Matrice del legame diretto ingresso-uscita

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)

Rappresentazioni lineari

Lo studio di fenomeni fisici conduce alla formulazione di descrizioni matematiche - sistemi di equazioni differenziali che permettono di esprimere le legami tra ingressi e uscite tramite variabili interne dette "di stato".

Ci occupiamo di rappresentazioni lineari e stazionarie, ovvero che ammettono funzioni generatrici f(x,u) e trasformazioni in uscita h(x,u) lineari nelle variabili (x,u).

La rappresentazione calibrata si dilata quindi

ẋ(t) = f(x(t), u(t)) = A x(t) + B u(t)
y(t) = h(x(t), u(t)) = C x(t) + D u(t)
x(t₀) = x₀ ∈ Rⁿ

Quindi se

• N - Dimensione del vettore x
• P - Numero di ingressi, dimensione del vettore u
• Q - Numero di uscita, dimensione del vettore y
• A ∈ mat (n x n) Matrice dinamica
• B ∈ mat (n x p) Matrice degli ingressi
• C ∈ mat (q x n) Matrice di trasformazione dello stato in uscita
• D ∈ mat (q x p) Matrice del legame diretto ingresso - uscita

{ẋ(t) = A x(t) + B u(t)}
{y(t) = C x(t) + D u(t)}

Rappresentazioni lineari stazionarie nel dominio del tempo

Il modulo { x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) x(t_o) = x_o ∈ Rⁿ è detto modello implicito. Suggerisce uno schema fisso mediante il quale realizzare il sistema:

Il modello esplicito, invece, descrive la evoluzione nel tempo di x(t) ed y(t) associati ad un fissato stato iniziale x_o al tempo t_o e ad un ingresso u definito da t_o in poi. Tale modello ha la struttura seguente:

x(t) = Φ(t - t_o) x(t_o) + ∫_to^t H(t - τ)u(τ) dτ
y(t) = Ψ(t - t_o) x(t_o) + ∫_to^t W(t - τ)u(τ) dτ

Funzione di matrice

Definiamo la funzione di matrice

I + At + A²t²₂ + ... + A^kt^k_k! = e^At

derivando la serie termine a termine ottengo

d^dt (I + At + A²t²₂ + A³t³_3! + ...) = A (I + At + A²t²₂ + ...) = A e^At

x(t) = e^Atx_o è soluzione unica e globalmente definita di x(t) = Ax(t) x(0) = x_o

A questo punto è chiaro che, posti

Φ(t) = e^At
H(t) = e^AtB         matrice delle risposte impulsive nello stato
Ψ(t) = Ce^At
W(t) = Ce^AtB + Dδ(t)         matrice delle risposte impulsive in uscita

Il modulo esplicito è soluzione di quello implicito

y(t) = Ce^A(t-t₀)x(t₀) + ∫_t0^t(Ce^A(t-τ)B + Dδ(t-τ))u(τ)dτ
x(t) = e^A(t-t₀)x(t₀) + ∫_t0^te^A(t-τ)Bu(τ)dτ

Evoluzione libera dipende dallo stato iniziale, ma non dall'ingresso (u=0)

Evoluzione forzata dipende solo dall'ingresso non dallo stato iniziale (x₀ =0)

H e W hanno colonne che possono essere interpretate come risposta forzata ad ingressi impulsivi

Per le risposte forzate vale il principio di sovrapposizione degli effetti

Il comportamento forzato ingresso-uscita è descritto da W; per questo si dice che W è un modello del comportamento forzato ingresso-uscita

Passare dal modello implicito a quello esplicito corrisponde ai calcoli delle evoluzioni nello stato e in uscita

Passare dal modello esplicito (nella pratica da W) al modello implicito è detto problema della realizzazione (praticamente dato W trovare A,B,C e D, ovvero una volta passato al modello implicito posso realizzare fisicamente il sistema, o simularlo al calcolatore)

Richiami di geometria

Data una matrice A un numero λ ed un vettore v sono detti autovalore e corrispondente autovettore se (A - λI)v = 0

Gli autovalori λ_i si trovano risolvendo

d(λ) = det (λI - A) = 0

d(λ) = polinomio caratteristico

d(λ) = (5 - 2λ )⁴ (5 - λ )^hr

La molteplicità di λ_i come zero di d(λ) è detta molteplicità algebrica (M)

m(λ)_i = polinomio minimo

È il minimo comune multiplo dei polinomi a denominatore dell’inverso di (λI - A). Ha le stesse radici del polinomio caratteristico, ma ognuna con molteplicità m_i ≤ M_i.

m_i è la molteplicità geometrica

La forma quasi diagonale a coefficienti reali, indicata con D, esiste se A è regolare, ovvero se tutti gli autovalori hanno molteplicità geometrica unitaria. Allora, dati gli autovalori

λ₁, ..., λ_m1 ∈ ℝ
d₁ + jω₁, ..., d_m2 + jω_m2 ∈ ℂ

con M₁ + 2M₂ = N^th sima

D = TAT^-1 = (V₁V₂...V_m1 = 0V_m2^b̄)

A (u₁ m₁ u₂ m₂ m₃ m_m20 u_m20 u_m2b̄)=( | λ₂ λ_m1 α₂ ω₂ | | -ω₂ α₂ ... | | α_m2 ω_m2 | )