Riassunto per esame orale di teoria dei sistemi

Teoria dei sistemi

Il sistema

Il sistema è un ente matematico e la sua definizione contiene i seguenti insiemi:

• U insieme degli ingressi
• Y insieme delle uscite
• X insieme degli stati
• T insieme del tempo
• Ω insieme delle funzioni ammissibili degli ingressi
• Γ insieme delle funzioni ammissibili delle uscite

Un sistema dinamico è regolato da questi sei insiemi e da ulteriori due funzioni matematiche:

• ρ funzione di transizione di stato x(t) = ρ(t, τ, x(τ), u)
• μ trasformazione d’uscita dove tutto è in correlazione col tempo t: y(t) = μ(t, x(τ), u(t))

Gode delle seguenti quattro proprietà:

• Consistenza: x(τ) = ρ(τ, τ, x(τ), u(τ))
• Irreversibilità: t ≥ τ
• Composizione: x(t) = ρ(t, τ, x(τ), u) = ρ(t₁, t₂, x₁, u)
• Causalità riferito a 2 ingressi differenti u’(t) e u’’(t)

Quindi, in definitiva si ottiene il sistema generale:

{x(t) = ρ(t, τ, x(τ), u(t))

Dove dal termine u(t) (y(t)) si riesce a dedurre se il sistema è strettamente proprio o non strettamente proprio, rispettivamente se questo termine è presente o meno.

Tipologie di sistemi dinamici

• Single Input Single Output (SISO)
• Multiple Input Multiple Output (MIMO)

Classificazione parametri

Nel tempo

• Sistemi tempo varianti
• Sistemi tempo invarianti

Nello spazio

• A parametri concentrati
• A parametri distribuiti

Sistemi lineari tempo invarianti

È un sottoinsieme dei sistemi dinamici. Il movimento globale è dato dalla somma tra movimento libero e movimento forzato.

Movimento libero: L(x(t) = φ(t, τ, x(τ), 0))

Movimento forzato: F(x(t) = φ(t, τ, 0, u))

In questo caso il sistema si dice lineare e si scrive nel seguente modo:

{ẋ(t) = A x(t) + B u(t)

e dove, ovviamente, x, y, u(t) possono essere così definite:

y(t) = C x(t) + D u(t)

Ponendo n=2, p=1, u=3 si ottiene il seguente sistema:

ẋ(t) = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + b₁₁u₁ + b₁₂u₂ + b₁₃u₃ + a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + b₂₁u₁ + b₂₂u₂ + b₂₃u₃

y(t) = c₁x₁ + c₂x₂ + d₁u₁ + d₂u₂ + d₃u₃

Dalla quale è possibile visualizzare le influenze dirette degli ingressi, ma non le influenze indirette.

Dal sistema scritto in questa forma si possono ricavare direttamente le matrici A, B, C e D.

Temi dinamici LTI nel discreto

Discretizzando un sistema LTI nel continuo Δt = t + T – t, dove T è il tempo di campionamento. In generale un sistema discreto si scrive nel seguente modo:

{x(t+1) = A x(t) + B u(t) ∈ t N

con y(t) = C x(t) + D u(t)

Soluzioni dei sistemi

Nel continuo, la soluzione è dettata dall’equazione di Lagrange:

x(t) = e^A(t-τ)x(0) + ∫₀^t e^A(t-τ)Bu(τ) dτ

Nei sistemi a tempo discreto la soluzione si ha con somma tra movimento libero e movimento forzato:

x(t) = A^tx(0) + ∑_i=0^t-1 A^t-1-iBu(i)

Per entrambi i casi possiamo scrivere la soluzione compatta, come segue:

x(t) = φ(t) x(0) + ψ(t) u(t)

Il termine φ(t) è la matrice di transizione e si comporta in questo modo:

{φ(t) = e^At nei sistemi a tempo continuo

φ(t) = A^t nei sistemi a tempo discreto

Invece, per quanto riguarda l’uscita y(t) si ha:

Nei sistemi a tempo continuo:

y(t) = C e^A(t-τ)x(0) + C ∫₀^t e^A(t-τ)Bu(τ) dτ

Nei sistemi a tempo discreto:

y(t) = C A^tx(0) + ∑_i=0^t-1 C A^t-1-iBu(i)

Trasformata di Laplace

Nei sistemi LTI continui, grazie alla trasformata di Laplace riusciamo ad eliminare la derivata prima che compare nel sistema, così riconducendo l’equazione differenziale in una più semplice equazione algebrica. La trasformata di Laplace è un operatore funzionale lineare che associa ad una funzione di variabile reale una funzione di variabile complessa.

Sia f(t) : [0, T[ continua ed integrabile.