Teoria scienza delle costruzioni

Scienza delle costruzioni

Cos’è una struttura?

La struttura è quella parte della costruzione che ha la stessa funzione che esercita lo scheletro nel nostro corpo, ovvero il telaio. Ci sono anche dei casi in cui la costruzione è la struttura stessa come nei ponti per esempio. Non è sempre immediato individuare la struttura in una costruzione. La struttura ha il compito di resistere alle azioni esterne, come tutte le costruzioni. Separare le funzioni tra struttura e tamponature non risponde alla realtà, le semplificazioni però sono necessarie. Le tamponature possono essere non considerate nei ragionamenti sulla struttura solo quando non parliamo di questioni sismiche per esempio. A noi interessa però solo la struttura, il telaio, non le costruzioni. Noi vogliamo prevedere il comportamento della struttura in funzione di tutti i possibili stimoli cui la struttura sarà sottoposta durante la sua vita. Lo facciamo al fine di garantire sicurezza, attitudine al servizio e durabilità.

Previsione del comportamento delle strutture

Il comportamento delle strutture può essere previsto:

• In modo empirico con un modello fisico e facendo delle prove su di esso e poi con questo approccio si costruisce.
• La seconda possibilità è quella di costruire un modello matematico non fisico o reale. Facciamo delle ipotesi sulle azioni/stimoli a cui può essere sottoposta la struttura. Queste azioni vanno schematizzate e descritte, ridotta ad una descrizione matematica. Risolviamo poi il modello che ci restituisce una risposta chiamata analisi strutturale. Poi vengono verificati i requisiti prestazionali che sono la sicurezza, attitudine al servizio e durabilità.

I modelli strutturali

• La trave: elemento strutturale allungabile in cui una dimensione prevale sulle altre.
• Solidi deformabili: oggetti di forma qualunque, non hanno una dimensione che prevale rispetto alle altre.

Prendiamo ora la trave di Galileo Galilei. Se immaginiamo di prendere un trampolino, vogliamo prevedere il comportamento di questa struttura. Vediamo una configurazione diversa, vogliamo vedere di quanto si abbassa la trave (e in questo caso il trampolino). Il secondo modello che studieremo sarà il solido deformabile. In questa categoria possiamo trovare anche la trave che ha una dimensione prevalente sulle altre due e alcune caratteristiche.

Le forze

Le forze possono essere attive o reattive. Le forze attive rappresentano forze esterne applicate alla trave, mentre le forze reattive sono quelle dovute ai vincoli che hanno applicazione di carattere cinematico. Le forze possono essere di volume, superficie o linea e poi quelle concentrate. Quindi forze concentrate (N) o distribuite come la forza peso, forze di superficie (N/m²), di linea (N/m).

Caratteristiche delle forze: Qualunque sia la loro natura vengono identificate con la loro direzione, verso, intensità e il punto di applicazione. Quest’ultimo è fondamentale per i corpi deformabili. Se io sposto il corpo lungo la sua retta d’azione per un corpo deformabile le cose cambiano come in figura, mentre per un corpo rigido non ci sarebbe una differenza.

Caratteristiche di una trave

L’asse geometrico è il luogo dei centri delle varie sezioni e passa per il centro geometrico. Ortogonalmente abbiamo la sezione trasversale. Poiché la trave è un oggetto allungato, possiamo sfruttare questa sua caratteristica e ridurre (schiacciare) il comportamento della trave al suo asse geometrico. Così facendo possiamo trovare le risultanti delle forze e dei momenti sezione per sezione rispetto all'asse geometrico.

Solido deformabile soggetto a forze

Ipotesi di corpo è in equilibrio (risultanti=0). Se il corpo è in equilibrio ciascuna sua parte deve essere in equilibrio. Immaginando di separare il corpo in due parti, applicandoci delle forze, il corpo non è più in equilibrio poiché sarebbe in equilibrio solo se sulla superficie di separazione agissero delle forze che devono ripristinare l’equilibrio. Queste forze all’apparenza mancanti, si generano automaticamente quando separiamo il corpo in più parti. Le forze applicate al corpo sono quelle esterne mentre quelle che vediamo dopo la separazione sono forze interne o anche tensione interna. Ogni tensione interna ha il proprio punto di applicazione. Le tensioni ovvero le forze interne vanno sempre in coppia, avendo stesso punto di applicazione, modulo, direzione ma verso opposto. La tensione è la reazione della forza che una parte esercita sull’altra, dovendo mantenere il corpo in equilibrio, la tensione rappresenta una coppia di forze.

Le tensioni rappresentano la sollecitazione interna, che viene tradotta in termini di forze applicate. Cambiando la superficie di taglio immaginaria, cambiano anche le coppie della tensione, essendo forze di superficie da cui ne dipendono. Il concetto delle forze interne può essere applicato anche ai vincoli, avendo così un ragionamento analogo.

Modello di trave

La trave è in equilibrio se la sommatoria delle forze attive e reattive è zero. Quindi risultante e momento risultante devono essere nulli. Il nostro intento è quello di schiacciare la trave sull’asse. La prima cosa da fare è separare la trave in parti; per farlo prendiamo quelle superfici di separazione corrispondenti ad una sezione ortogonale all’asse. Dalla visione estesa arrivo alla visione del solo asse, schiacciando le forze sull’asse geometrico. Per quanto riguarda le forze interne invece calcoliamo la risultante e il momento risultante, indicate rispettivamente con S e M. S, M sono l’azione interna. Queste sono calcolate entrambe rispetto alla faccia che stiamo considerando. La risultante è una forza (N) ed M invece viene calcolata in N*m.

Lo stato monodimensionale ottenuto (ovvero quello ridotto ad una linea) è più semplice, ma avremo anche meno informazioni. Basta pensare alle forze interne, dove non vedo la distribuzione di tensione ma solo la risultante e il momento risultante. Nel passaggio dal modello tridimensionale a quello monodimensionale, passiamo dalle tensioni, all’azione interna e questo passaggio avviene con il calcolo della risultante e momento risultante. Non è possibile calcolare la tensione tramite le risultanti interne (Risultante; M risultante). Perché? Esistono infinite distribuzioni di forze che mi possono dare una risultante.

Caratteristiche della sollecitazione

Prendiamo l’asse z coincidenti con l’asse geometrico e prendendo x e y come assi principali d’inerzia. Scelto questo sistema di riferimento possiamo scomporre S ed M in componenti. Queste sei componenti sono le componenti dell’azione interna (o caratteristiche della sollecitazione).

• N è lo sforzo assiale ortogonale alla sezione.
• T e T sono lo sforzo di taglio o semplicemente taglio, sono il taglio lungo x e y lungo y rispettivamente e agiscono nel piano della sezione.
• Mx e My sono i momenti flettenti lungo x e lungo y.
• Mz è il momento torcente.

Rappresentando la sezione nel piano abbiamo un solo momento e un solo taglio perciò possiamo anche non mettere i pedici. N, T ed M hanno un legame con la tensione interna perché sono le componenti della risultante e il momento risultante delle tensioni. Se abbiamo un piano di simmetria possiamo dire che le forze agiscono tutte sul piano di simmetria. Se così è allora la trave cambierà forma rimanendo simmetrica rispetto al piano e il comportamento della trave è piano. Quando lavoriamo con l’azione interna abbiamo solo tre componenti significative che sono N, T ed M e prendono il nome di caratteristiche della sollecitazione.

Costruzione di un modello di trave piana

Il caso più semplice possibile è una trave in cui le forze esterne applicate agiscono tutte nella direzione dell’asse della trave. Disegnando la trave in modo monodimensionale: Introduciamo adesso le reazioni vincolari; anch’esse saranno esterne e si troveranno nella direzione dell’asse. Disegnando la convenzione posso omettere l’asse y, questo perché il suo verso è univocamente determinato tale per cui, portando y su z, sarà antiorario. Evidenzio le forze interne: sulla superficie di separazione devono agire delle forze tali da ripristinare l’equilibrio. In generale sappiamo che le forze interne sono N, T ed M. In questo caso, l’unica componente di cui ha senso parlare è lo sforzo normale.

Convenzione e determinazione delle forze interne

La convenzione scelta per disegnare le forze interne dipende dalla ascissa z, infatti una volta fissata questa, la scelta dei versi delle forze interne è definita. Se l’asse z, e quindi la normale, è uscente (sforzo di trazione) dalla materia adotto la convezione positiva, se invece è entrante (sforzo di compressione) adotto quella negativa. Voglio ora "isolare" una fetta di trave, opero quindi un'altra sezionatura ottenendo così il tronco elementare di trave, cioè la parte di trave compresa tra due sezioni. Se la trave è in equilibrio allora ciascun tronco elementare dovrà esserlo.

Trovo delle forze uscenti ed entranti in quanto è un tronco di trave. Queste forze avranno un valore che sarà pari ad N e N+dN ovvero: L’equilibrio in direzione dell’asse ci dà: Le forze applicate fanno zero perché l’equilibrio deve essere garantito. Da cui ottengo: Questa si chiama equazione indefinita di equilibrio ed è un’equazione differenziale che lega forze interne e forze esterne. Ci restituisce il fatto che la derivata dello sforzo normale, rispetto a z, più la forza peso mi dà l’equilibrio.

All’interno della trave deve valere l’equazione ottenuta. Ma alle estremità della trave cosa succede? Immaginiamo di fare un taglio portando la sezione di taglio sempre più vicina ad un'estremità sino a farla coincidere con questa (configurazioni al limite). In questo processo al limite, stiamo spingendo lo sforzo normale ad affiorare nell’estremo della trave. Quando lo sforzo normale affiora nell’estremità di destra avrò N=-F, mentre nell’estremità di sinistra sarà N=R, positivo perché R sforzo di trazione. Nel caso della relazione in verde, la reazione vincolare va calcolata in quanto incognita. Nella parte blu invece è un dato noto fin dall’inizio e non bisogna calcolarlo; la condizione (in blu) si chiama equazione di equilibrio alle estremità.

Cinematica

La cinematica ci dice solo come si deforma e non è interessata alle cause che hanno provocato la deformazione. Qui introduciamo un fattore matematico che mi indica come varia la posizione della sezione, cioè di quanto essa trasla. Questo fattore matematico è lo spostamento assiale (w). Iniziale o indeformabile Finale o deformabile: essa la si può ottenere se si conosce la relazione w=w(z) è un descrittore di cambio di configurazione.

A questo punto isolo una porzione infinitesima di trave. Come cambia la forma del tronco elementare di trave? Il tronco elementare quindi è fatto nel seguente modo: Ora vado a sovrapporre i due modelli (indeformato e deformato) per vedere come cambia di forma. Se le due sezioni hanno uno spostamento relativo tra le due estremità (cioè le due sezioni non coincidono) allora si ha una deformazione di sezione e lo spostamento relativo vale dw. Lo spostamento relativo per unità di lunghezza è la misura della deformazione del tronco elementare. Questa quantità si chiama dilatazione e viene indicata con la lettera ε. È un’equazione indefinita di congruenza o anche di compatibilità cinematica, che lega lo spostamento alla deformazione con relazioni di tipo geometrico. La deformazione ε è adimensionale.

Faccio ora delle riflessioni sulle estremità. Lo spostamento alle estremità della trave dove è presente un vincolo vale 0, invece nell’altra estremità (quella "libera") non è noto a priori, ovvero sarà esito dell’analisi strutturale. Laddove lo spostamento è noto l’equazione che fissa lo spostamento in una estremità si chiama equazione di congruenza ai limiti o alle estremità. In questo caso invece non ci saranno equazioni di congruenza ai limiti, abbiamo invece l’equazione di equilibrio alle estremità.

Se andiamo a studiare lo sforzo normale vediamo che esso non è noto a priori laddove abbiamo un vincolo, al contrario, nell’altro estremo vale quanto la forza ad esso applicata. In generale posso dire: dove c’è un vincolo conosco lo spostamento ma non lo sforzo normale mentre dove non c’è il vincolo conosco lo sforzo normale ma non lo spostamento. Quindi per ogni estremità posso scrivere sempre una condizione o di tipo statico o di tipo cinematico. Non può accadere che ce ne siano 0 e non può accadere che ce ne siano 2.

Nel primo caso abbiamo studiato le forze interne le forze esterne e abbiamo ottenuto la relazione di equilibrio. Nel secondo caso ci siamo occupati di cinematica e abbiamo ottenuto le relazioni di congruenza tra lo spostamento e la deformazione. Le relazioni si chiamano anche geometriche.

Componenti di moto rigido e componenti di deformazione

A questo punto posso trovare una relazione tra N ed ε: il legame costitutivo che introduce nel modello le informazioni sul comportamento strutturale. Questa rappresentazione è tipica di tutti i modelli strutturali.

Lo introduco per via sperimentale: Prendiamo un elastico, bloccandolo sul muro all’estremità superiore e inserendo dietro di esso della carta millimetrata. Successivamente applichiamo una forza nell’altra estremità e vediamo come esso si allunga. Possiamo anche segnare sull’elastico una serie di tacche equispaziate che ci servono per visualizzare i vari tronchi di trave. Costruiamo poi un grafico: in ordinata la forza F e in ascissa il rapporto tra l’allungamento e la lunghezza l dell’elastico nella posizione indeformata. Quello che otteniamo da questo esperimento è che, finché le forze sono piccole, avrò un andamento lineare (retta). In altre parole, se la forza non è eccessivamente grande il comportamento tra la forza applicata e la quantità Δl/l è lineare. Sullo sforzo normale posso dire che, dall’equazione indefinita di equilibrio, esso sarà costante in quanto abbiamo trascurato la forza peso dell’elastico. Lo sforzo normale invece per z=l ovvero nell’estremo libero vale N=F, perciò lo sarà ovunque. Perciò posso scrivere in ordinata N al posto di F.

Osservando la quantità Δl/l noto che questa ha la stessa definizione della dilatazione, ma non è come la deformazione ε (che è di tipo puntuale perché definita in corrispondenza del tronco elementare di trave) perché prende lo spostamento relativo di tutta la trave e lo divide per la lunghezza della trave stessa. Quindi stiamo analizzando la dilatazione media che è il valore medio della ε in quanto abbiamo diviso l’allungamento per tutta la lunghezza della trave e non abbiamo considerato solo un tronco dell’elastico. Le tacche che erano equispaziate sono ancora equispaziate anche dopo la deformazione per cui possiamo dire che la deformazione è costante (in quanto lo spostamento relativo è lo stesso), e quindi ε, sostituibile a Δl/l, coincide con il valore medio ε.

Otteniamo il grafico sforzo-deformazione che ci restituisce una relazione tra sforzo normale e deformazione che possiamo scrivere come: Tutti i materiali mostrano per un primo intervallo di forze un andamento lineare, quello che cambia invece è il coefficiente angolare EA della retta. Questo coefficiente è dato dal prodotto di due quantità: A che è l’area della sezione trasversale della trave (caratteristica geometrica della trave) ed E invece si chiama modulo di elasticità longitudinale o anche modulo di Young (caratteristica del materiale).

Quindi possiamo dire che il legame costitutivo è dato da N=EAε: lega N con ε introducendo nel modello strutturale le informazioni sul comportamento del materiale. Sostituendo N=EAε nell’equazione indefinita di equilibrio (dN/dA +P=0), si ottiene: Se EA=costante otteniamo: Un modello di questo tipo dà la possibilità di studiare la risposta strutturale, la quale consiste nel determinare N, w e ε. Per questo modello strutturale se prendiamo le tre equazioni oppure quella sintetizzata abbiamo bisogno di due condizioni ai limiti che già conosciamo e sono w=0 dove è presente il vincolo, e N=F dove non abbiamo il vincolo. La risposta strutturale viene calcolata risolvendo questo sistema, in cui P è costante quindi carico uniformemente distribuito: Viene fuori che questo modello strutturale è tale per cui: Teorema di Kirchoff: se esiste, la soluzione è unica a meno di un moto rigido. Ci sono dei casi in cui la soluzione non esiste. La soluzione non esiste quando l’equilibrio non è possibile. In questo caso l’equilibrio è possibile se le forze sono di modulo e direzione uguali ma di versi opposti.