Teoria Elementare degli insiemi

Luca Lussardi Appunti di Analisi I

Teoria elementare degli insiemi

Per insieme si intende una collezione, un raggruppamento di elementi, considerati nella loro

∈

totalità. Se un elemento x appartiene all’insieme X si scrive anche x X; se invece x non

∈

appartiene ad X, la notazione usata x / X.

Spesso risulta comodo denotare un insieme elencando i suoi elementi (specie per gli insiemi finiti),

{a,

ad esempio X = b, c} è l’insieme che ha come elementi le lettere a, b e c.

∅

Nel seguito verrà utilizzato il simbolo per indicare l’insieme vuoto, ovvero l’insieme che non ha

elementi.

Dato un insieme X si dice che Y è un sottoinsieme di X se risulta vera l’implicazione

∈ ∈

x Y =⇒ x X.

⊆

In tal caso si scrive Y X.

La nozione di sottoinsieme permette di enunciare una condizione necessaria e sufficiente per

l’uguaglianza tra due insiemi, detta principio di estensionalità:

⇐⇒ ⊆ ⊆

X = Y X Y e Y X.

Questo principio, che a prima vista può sembrare artificioso, risulta utile quando si deve di-

mostrare l’unicità di un insieme X i cui elementi soddisfano una certa proprietà: basta supporre

che X non sia unico, ovvero che esistano X e X con le propriet di X, e dimostrare, per

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estensionalità, che necessariamente X = X .

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Operazioni tra insiemi

Vediamo per prima l’operazione di unione: dati due insiemi X e Y sia

∪ {x ∈ ∈ }.

X Y = : x X oppure x Y

∪

Si dice che X Y è l’unione tra X ed Y . La seguente figura mostra il signifcato dell’unione tra

due insiemi:

Un’altra operazione di notevole interesse è l’intersezione tra insiemi: dati due insiemi X ed Y sia

∩ {x ∈ ∈ }.

X Y = : x X e x Y

Si dice che X∩Y è l’intersezione tra X ed Y . La seguente figura mostra il significato dell’intersezione

tra due insiemi: ⊆

È possibile considerare anche la differenza tra due insiemi: dati due insiemi X e Y con X Y ,

sia \ {x ∈ ∈

Y X = Y : x / X}.

\X

Si dice che Y è la differenza tra X e Y . La seguente figura mostra il significato della differenza

tra due insiemi:

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\

Talvolta l’insieme Y X si dice anche complementare di X in Y , e viene anche denotato sem-

c

plicemente con X , quando non vi sia ambiguità su quale sia l’insieme Y .

{0, {2,

Si considerino i due insiemi X = 1, 2, 3, 4, 5} e Y = 3, 7, 9}. Allora si ha

Esempio:

che ∪ {0,

X Y = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

e ∩ {2,