Teoria e esempi variabili aleatorie

Esperimenti aleatori e probabilità

Un esperimento aleatorio è un esperimento di cui non conosci la risposta a priori.

Spazio campione: Ω (insieme di tutti i possibili risultati).

Classe degli eventi: S (insieme di tutti i possibili eventi).

Un evento è un sottoinsieme dello spazio campione A ⊆ Ω.

Es. lancio moneta: Ω={T,C} S={∅,{T},{C},Ω}.

∅ evento impossibile.

Leggi di probabilità

Leggi di probabilità: definite agli elementi e non ai risultati:

Pr: S→[0,1] ∀A∈S Pr(A)∈[0,1]

Pr(A)=lim_N→∞ N_A/N legge probabilistica.

∀A∈S Pr(A)≥0 sopra!

Pr(Ω)=1

∀A,B∈S A∩B=∅ ⇒ Pr(A∪B)=Pr(A)+Pr(B)

Ā:Ω-A ∀A⊆S ⇒ Pr(Ā)=1-Pr(A)

∀A∈S ⇒ 0≤Pr(A)≤1

Pr(∅)=0

∀A,B∈S Pr(A∪B)=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A∩B)

Per convenzione si scrive Pr(A∩B)=Pr(A,B)

A e B sono indipendenti se Pr(A∩B)=Pr(A)Pr(B).

Se A e B non sono indipendenti ⇒ Pr(A∩B) si può calcolare solo sperimentalmente.

Pr(A|B)=Pr(A∩B)/Pr(B) ⇒ Pr(A,B)=Pr(A|B)Pr(B)

Teorema di Bayes

Teorema di Bayes

∀A,B∈S Pr(A|B)=Pr(B|A)Pr(A)/Pr(B)

Un esperimento aleatorio è un esperimento di un cui corso il risultato è probabile.

Spazio campione: Ω (insieme di tutti i possibili risultati).

Classe degli eventi: S (insieme di tutti i possibili eventi); un evento è un sottoinsieme dello spazio campione A ⊆ Ω es. lancio moneta Ω={T,C} S={∅,{T},{C},Ω}.

∅ evento impossibile.

Legge di probabilità: definito agli elementi, e non ai risultati:

Pr: S→[0,1], ∀ A ∈ S Pr(A)∈[0,1].

Pr(A) = lim _N→∞ N_A/N legge probabilistica.

∀ A ∈ S Pr(A)≥0 super!

Pr(Ω)=1.

∀ A,B ∈ S A ∩ B = ∅ ⇒ Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B).

Ā = Ω-A ∀ A ∈ S ⇒ Pr(Ā) = 1 - Pr(A).

∀ A ∈ S ⇒ 0 ≤ Pr(A) ≤ 1.

Pr(∅)=0.

∀ A,B ∈ S Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A ∩ B).

Per convenzione si scrive Pr(A ∩ B) = Pr(A,B).

A e B sono indipendenti se Pr(A|B) = Pr(A) e Pr(B|A) = Pr(B).

Se A e B non sono indipendenti ⇒ Pr(A|B) si può solo calcolare sperimentalmente.

Pr(A|B) def: Pr(A|B) = Pr(A ∩ B) / Pr(B)

Teorema di Bayes

Teorema di Bayes ∀ A,B ∈ S Pr(A|B) = (Pr(B|A)Pr(A)) / Pr(B).

Probabilità del tris nel poker

3o. Che probabilità ho di avere un tris durante una partita di poker?

Pr(T)=Pr(RT₁)+B₁Pr(T₂) +...+B₂T₃) + Pr(RB)T₃ + Pr(RT₃) + Pr(R B₁T₂) = 13·10 Pr(A,A,NA,NA₂) = 13·10(5/₁₃·3/₁₂·2/₁₁·44/₄₉) =13·10 (4/_220,715) = 902 calibrazione

Teorema di probabilità totale

18/03/2014

Sia A ∈ S e B₁, B₂, ... , B_n una partizione dello spazio campione ∀ B_i,B_j : i≠j ⇒ B_i∩B_j = ∅

Pr(A)∧j = B_kAB₃B_iB_jB_iB₃

Nel teorema di Bayes ho bisogno di Pr(B_j) che non conosco a priori, ma la posso calcolare.

P(B₃), Pr{B₃|A}, Pr{A} + B_l B_j Pr{A}

Note che A lo posso considerare come fatto a priori: A= ⊙ i ε A ∩ B₃ ⇒ A = ⊙ (A∩B_j)

Pr{A³}= ∑ B_kC_iCⁱ · ∑ B₂ A₃B_i B_j(Pr(B_i))

Fine

Lanci della moneta

Faccio un esperimento e lancio una moneta se Ω_i, T_i C_j adesso lancio una moneta una seconda volta l₂= Ω × Ω == [ (T,T), (C,C), (C,T), (T,T) ]

Le classi: lanciando la moneta la terza volta assegno che Ω₃=Ω×Ω×Ω ⇒ in general Ω_n=Ω × Ω...× Ω.

Se lancio 10 volte una roulette che probabilità ho che esca 10 volte T e 10 volte C?

ΩP(A|A)P(A)₂ P(A|A^C)Pr(A) se vale .20 : .320⁹ Pa¹ (1-pA)^10-1 Pa¹⁰ (1-pa)⁹2₀ . 19 . 18 . 17 . 16 . 15 . 14 . 13 . 12 . 11 . 10

Pr(1/2) = 2⁰Pa¹⁰(A-pa)¹⁰ = 923.480 Pa¹⁰ (1-pa)¹

Più in generale Pr{Au su N}_{N(N^u) Paⁿ}