Teoria di Misure meccaniche e termiche

Introduzione: la misura

Misurare significa riuscire a quantificare in maniera efficace ed efficiente un parametro fisico (dopo più di una misura).

La misura dipende dallo strumento e da chi la effettua, questa operazione non ha mai un esito univoco in quanto non si potrà → fare a meno di incorrere in errori le operazioni di misurazione sono tutte inevitabilmente affette da incertezza (il risultato di una operazione di misurazione è solo una stima del valore della grandezza fisica che si sta misurando).

La misura ripetuta avviene in momenti diversi, dalla quale emergono misurazioni diverse causate dalle condizioni al contorno: può capitare infatti che agenti diversi influenzino la misura, provocando alterazioni sullo strumento. Se non conosciamo la relazione causa-effetto, attribuiamo la misura al caso.

Le misure vengono effettuate per conoscere, descrivere e controllare qualsiasi sistema fisico nel miglior modo possibile. Prima di effettuare una misurazione è necessario progettarla (anche scegliendo gli strumenti adeguati alla misura della grandezza fisica) in modo da avere informazioni chiare e sufficienti.

Definizioni

• Grandezza: proprietà di un fenomeno, corpo o sostanza che può essere espressa quantitativamente mediante un numero e un riferimento.
• Unità di misura: grandezza scalare adottata per convenzione rispetto alla quale è possibile confrontare ogni altra grandezza della stessa specie al fine di esprimere il rapporto delle due grandezze con un numero.
• L’operazione di confronto deve stabilire di quante volte la grandezza di riferimento è maggiore o minore della grandezza da misurare.
• Valore di una grandezza: numero e riferimento che congiuntamente costituiscono l’espressione quantitativa di una grandezza.
• Misurazione: processo volto ad ottenere sperimentalmente uno o più valori che possono essere ragionevolmente attribuiti a una grandezza.
• Misurando: grandezza che si intende misurare.
• Risultato di una misura: insieme dei valori attribuiti ad un misurando unitamente a tutte le informazioni ritenute pertinenti e disponibili.
• Proprietà estensive: sono quelle proprietà il cui valore dipende dalle dimensioni del corpo al quale ci si riferisce (massa, volume, …).
• Proprietà intensive: sono quelle proprietà il cui valore dipende dalla natura del fenomeno e dalle condizioni al quale il corpo si trova, ma non dipendono né dalla quantità di materia né dalle dimensioni del campione (temperatura, pressione, densità, …).
• Procedura di misura: è la descrizione dettagliata di una misurazione eseguita in conformità ad uno o più principi di misura e ad un determinato metodo di misura, è basata su un modello di misurazione e comprende tutti i calcoli necessari per ottenere un risultato di misura 1.

Metodi di misura

• 1) Diretto: quando il misurando è letto direttamente sullo strumento, ovvero è messo a confronto con un campione omogeneo (es. temperatura usando il termometro).
• 2) Indiretto: il misurando è ottenuto elaborando i risultati di una misura o più misurazioni dirette su grandezze collegate a quelle di interesse (es. calcolare la velocità misurando lo spazio percorso in un determinato tempo).
• 3) Di zero: il valore del misurando è ottenuto quando nel sistema di misura è stato raggiunto un equilibrio variando una o più grandezze di valore noto, collegate al misurando da una relazione nota.
• 4) A deviazione: la quantità misurata produce un effetto fisico che è opposto, ma simile, all’effetto prodotto dallo strumento di misura; l’effetto in opposizione cresce fino a quando non viene raggiunta una condizione di equilibrio in corrispondenza della quale si valuta la deflessione.

Di zero a deviazione 2.

Statistica

La statistica è la scienza dei fenomeni collettivi, cioè studia fenomeni di massa caratterizzati da variabilità e che possono essere quantificati in qualche modo.

Inferenza statistica

È un metodo basato sulla teoria della probabilità che permette di stimare i valori caratteristici di una popolazione a partire da un campione estratto da essa:

• Popolazione: insieme che raccoglie tutte le informazioni possibili riguardo ad un fenomeno o una variabile e può essere finita o infinita.
• Campione: estratto dalla popolazione, deve essere significativo (non viziato, casuale) e contenere le informazioni della popolazione.

Indagine campionaria: può essere:

• Descrittiva: per ottenere informazioni su ampi gruppi di unità.
• Analitica: per poter effettuare confronti tra sottogruppi di una popolazione, verificare alcune ipotesi o formularne altre.

Piano di campionamento: metodo attraverso il quale si selezionano i campioni da analizzare e le sue dimensioni.

Campioni probabilistici: campioni le cui unità vengono estratte dalla popolazione in modo tale che ogni elemento abbia una probabilità nota di entrare a far parte del campione stesso; dal punto di vista statistico i campioni probabilistici sono gli unici che giustificano il ricorso all’inferenza statistica.

Probabilità: la variabile aleatoria

• Variabile aleatoria discreta: variabile aleatoria il cui range è costituito da un insieme finito o numerabile di numeri reali (es. risultato ottenuto dal lancio di un dado).
• Variabile aleatoria continua: variabile aleatoria il cui valore può cambiare da una replica dell’esperimento all’altra e il cui range è costituito da un intervallo (finito o infinito) di numeri reali (lunghezza, pressione, temperatura, tempo).

Caratteristiche di una variabile casuale discreta

Campione di n pezzi estratti casualmente dalla popolazione n risultati di prova.

• Frequenza assoluta dell’evento a: il numero di volte in cui si verifica l’evento a; la somma delle frequenze assolute per tutti gli eventi possibili è pari ad n.
• Frequenza relativa dell’evento a: rapporto tra il numero di volte in cui si verifica l’evento a ed il numero n di tutti i risultati di prova ottenuti con → ∑ = = 1.
• Probabilità dell’evento a → () = lim ( ) → ∞.

Esempio

Consideriamo i risultati di un’indagine a campione che registra il numero di figli di n=40 coppie: i dati possono essere posizionati in una tabella che evidenzia il valore delle frequenze assolute e relative 3.

Proprietà della funzione probabilità

0 ≤ () ≤ 1.

• 1. → () = 1 evento certo.
• 2. → () = 0 evento impossibile.
• 3. ( + ) = () + () se eventi mutuamente esclusivi.
• 4. () = () ∙ () se eventi indipendenti.
• 5. ( + ) = () + () − () se eventi non mutuamente esclusivi.

Caratteristiche di una variabile casuale continua

X → ∞.

Si hanno n risultati di prova con per cui si suddivide l’intero campo di variabilità dei risultati di prova in un numero finito di intervalli (classi) e si contano le volte in cui ciascuno degli n risultati ottenuti cade in ognuno degli intervalli definiti.

• Frequenza assoluta associata alla i-esima classe: il numero che rappresenta il risultato relativamente a quella classe → =.
• Frequenza relativa associata alla i-esima classe: rapporto tra ed n → = = −.
• Densità della classe: quanti elementi sono inclusi in quella classe con.

Esempio 6

Si hanno 35 valori di durata a fatica di un certo tipo di molle; suddivisione in 10 classi, ciascun intervallo è di 10 cicli.

I dati tabellati sono riportati anche in un istogramma, un grafico che mostra la frequenza, o il numero di volte, che un determinato elemento appare in un intervallo specifico.

→ () =.

Funzione densità di probabilità

→ ∞ → 0.

È una funzione continua (o continua a tratti) e sempre () positiva che dà un’indicazione quantitativa della tendenza della variabile casuale ad assumere più frequentemente valori in un certo intervallo del suo campo di variabilità.

+∞ → () = 1.

Funzione di probabilità (±∞ sono gli estremi del campo di variabilità della variabile casuale x) ∫ −∞.

È l’area sottesa alla funzione densità di probabilità f(x).

Funzione di probabilità cumulata

→ () = () ∫ −∞.

È una funzione continua, monotonicamente crescente e sempre positiva che rappresenta la probabilità che la variabile x assuma uno qualsiasi dei suoi valori compresi tra −∞ e.

• 1. (−∞) = 0 →.
• 2. (+∞) = 1 →.
• 3. ( < < ) = () − ().
• 4. ( > ) = 1 − ().

4.

Misure di tendenza centrale

Le misure di tendenza centrale individuano un valore centrale attorno al quale tendono a disporsi i dati di una popolazione o un campione; le principali misure di tendenza sono:

• Media o media aritmetica dei dati relativi a un campione di n elementi (media campionaria) ∑ → x̄ =.
• NB: se avessimo infiniti campioni indicheremmo la media con e sarebbe la migliore stima della media.
• NB: Un grosso svantaggio della media è che è fortemente influenzata dai valori estremi.
• Mediana (+1) se n dispari (valore che sta nel mezzo della lista) 2 { } → (+1) + se n pari (valor medio tra i 2 al centro della lista 2 22.
• NB: la mediana non è influenzata dai valori estremi; ogni osservazione dell’insieme dei dati ha il 50% di probabilità di cadere sopra o sotto la mediana.
• Moda: è quel valore della variabile casuale cui compete la più elevata probabilità di verificarsi ().
• Media o valore atteso della popolazione.

→ ∑ ) = () = ( ) ( - Se x = variabile casuale discreta dove = probabilità che la variabile x assuma il valore di.

+∞ → = () = () () - Se x = variabile casuale continua dove = funzione densità di probabilità ∫ −∞.

Distribuzione e divisione dei dati: i quantili

Gli insiemi di dati sono generalmente ordinati in modo da formare delle curve che possono essere divise nei seguenti modi:

• Quartili (Q1, Q2, Q3): divisione in 4 parti.
• Decili (D1, D2, ..., D9): divisione in 10 parti.
• Percentili (P1, P2, ..., P99): divisione in 100 parti (usati nell’ambito delle statistiche mediche).

La mediana è un particolare quantile poiché divide l’insieme dei dati in 2 parti, quindi si ha Mediana = Q2 = D5 = P50 5.

Misure di dispersione o variabilità

Le misure di dispersione rappresentano l’incertezza dei dati misurati rispetto ad un valore centrale; le principali misure di dispersione sono:

Varianza: media delle differenze tra le osservazioni e la loro media, è la variazione delle osservazioni intorno al valor medio.

2 2 2 → ∑() ) = (( − ) = − ) ( ) ( - Se x = variabile discreta dove = probabilità che la x assuma il valore di.

+∞ 2 2 2 → ) = (( − ) = ( − ) () () - Se x = variabile continua dove = funzione densità di probabilità ∫ −∞.

NB: La Gaussiana è una funzione densità di probabilità, per cui l’area sottesa ad entrambe le gaussiane è sempre unitaria; le gaussiane differiscono per la varianza: più è alta la varianza, più la curva è bassa e spanciata.

Interpretare il valore di una unità di misura al quadrato non è comodo, per cui si definisce la deviazione standard come la radice quadrata della varianza presa con segno positivo; in questo modo si ha un parametro dimensionalmente uguale alla variabile e alla media.

+∞ → 2 2 √∫ = √ = ( − ) ().

Deviazione standard −∞.

NB: lo svantaggio principale della deviazione standard è che non è adatta a distribuzioni non normali (non Gaussiane).

Parametri di forma (non li useremo mai)

La distribuzione di probabilità intorno alla media può avere diverse forme, analizzabili attraverso i seguenti parametri:

• Parametro di asimmetria 3( ) − x̄ → ∑ = 3.
• Se a>0 i dati maggiori della media sono tendenzialmente più distanti dalla media dei dati minori della media.
• Se a<0 i dati maggiori della media sono tendenzialmente più vicini alla media dei dati minori della media.
• Parametro di curtosi 4( ) − x̄ → ∑ = 4.
• Se k=3 si ha la mesocurtica.
• Se 0<k<3 si ha la leptocurtica (meno spanciata e più alta).
• Se k>3 si ha la platicurtica (più spanciata e più bassa).

6.

Distribuzione normale o Gaussiana

La funzione densità di probabilità f(x) dà un’indicazione quantitativa della tendenza che la variabile casuale ha ad assumere più frequentemente valori in un certo intervallo del suo campo di variabilità piuttosto che in un altro.

La probabilità che il valore di un’osservazione cada in un determinato intervallo è rappresentata dall’area sottesa alla funzione densità di probabilità e compresa tra i due estremi dell’intervallo stesso (ricorda che l’area sottesa a tutta la f(x) è sempre pari a 1) con +∞ → () = ( < < ) () = 1 ∫ ∫ −∞.

Il calcolo delle probabilità associate ai diversi intervalli richiede dunque la conoscenza dell’espressione analitica della funzione densità di probabilità f(x).

La più importante funzione di densità di probabilità è la distribuzione normale o Gaussiana:

• Descrive e rappresenta molti fenomeni reali.
• È usata per approssimare diverse distribuzioni discrete.
• Attraverso il teorema del limite centrale, costituisce la base dell’inferenza statistica (procedura con cui dalle caratteristiche osservate di un campione si cerca di risalire a quelle della popolazione di riferimento).

(−)2 1 −( ) = 22 → Espressione analitica √2 μ σ.

Quindi, le diverse Gaussiane si hanno al variare dei due parametri (media) e (deviazione standard).

Proprietà della Gaussiana

• Forma a campana, simmetrica rispetto alla media, cioè rispetto al punto → = ( + ) = ( − ).
• Variabile casuale x con campo di variazione infinito → ]−∞; ∈ +∞[.
• Posizione curva: tanto maggiore è μ, tanto più la campana è spostata verso destra.
• Apertura curva: tanto maggiore è σ, tanto più la campana è larga e bassa.
• Ci sono 2 punti di flesso per = ±.
• Misure di tendenza centrale (media, mediana, moda) coincidenti.
• Per via della simmetria → ( − ) = 1 − ( + ).
• 68% dei valori di x ∈ ±, il 95% ∈ ± 2, il 99.7% ∈ ±.

Quindi, la deviazione standard rappresenta da un punto di vista geometrico la distanza dei due punti di flesso rispetto all’asse passante per il valore medio; da un punto di vista statistico, invece, l’area compresa tra -σ e +σ rappresenta il 68.2% di tutta l’area (unitaria), cioè la probabilità che preso un valore a caso esso sia il valore atteso μ.

NB: in realtà μ e σ non li posso conoscere esattamente, ma li posso stimare con:

• Il valore medio, che è la migliore stima del misurando perché si può interpretare la dispersione come un rumore a media nulla e quindi il valore medio del segnale risultante è proprio il misurando → () = x̄.
• Lo scarto quadratico medio, che è la migliore stima della deviazione standard e rappresenta la dispersione dei dati intorno al valore di tendenza centrale scarto quadratico medio 2∑( − x̄ ) √( ) = = → → −1.

Normale o Gaussiana standardizzata

Distribuzione normale o Gaussiana standardizzata 2 2 = 0 = 1.

La funzione gaussiana significa assegnare come parametri caratteristici e = 0 = 1.

Standardizzare la funzione gaussiana significa assegnare come parametri caratteristici e usa come variabile casuale standardizzata z per cui si hanno le espressioni analitiche di:

Si variabile casuale standardizzata z per cui si hanno le espressioni analitiche di:

Funzione densità di probabilità standardizzata funzione di probabilità cumulata standardizzata.

2 () = ( < ) = () ∫ 1 − −∞ () = 22 √ 7.

È possibile usare la distribuzione normale standardizzata per calcolare qualunque area compresa.