Teoria degli Infiniti

Appunti di teoria degli infiniti

Pierandrea Vergallo

pierandrea.vergallo@libero.it

Studente di matematica presso l’Università del Salento

Fondatore del Progetto #AltraMatematica

Abstract

Agli inizi del Novecento si fece strada tra la comunità di matematici, logici e filosofi la possibilità di creare una teoria autonoma e coerente riguardante l’infinito matematico. Personalità come quelle di G. Cantor, B. Russell e R. Dedekind fanno da protagonisti in una storia ricca di curiosità ed interessante agli occhi dei moderni studiosi e degli appassionati di matematica. La conoscenza e lo studio di questi argomenti, pur non avendo un grande seguito attualmente, risulta di facile comprensione e permette di assimilare alcuni concetti matematici ritenuti spesso scontati e insiti tra gli addetti ai lavori. Resta, infine, aperta una via di analisi della teoria tutta filosofica, di cui si fa qualche volta cenno negli scritti dei protagonisti.

Il concetto primitivo di insieme

Ormai quasi dimenticata, riguardo l’aspetto più filosofico ed astratto della matematica è stata indiscutibilmente la ricerca di una definizione concreta e formale del concetto di insieme.

Una delle più grandi questioni umane, non sembra, a primo acchito, una trattazione particolarmente complessa, né tantomeno che necessiti grandi basi scientifiche o filosofiche per poterne parlare. In realtà, ogni qual volta ci si imbatte in una sorta di definizione (seppur banale) dell’idea di insieme si cade in una serie di sinonimi e sottigliezze che nel formalismo matematico sono ritenute sconvenienti.

Succede, infatti, che alcuni enti non possano essere definiti in maniera rigorosa e puntuale, a causa di inconsistenze soprattutto di tipo filosofico. È proprio questo il motivo principale per cui la parola “insieme” difficilmente potrà essere definita: essa non si poggia su concetti pregressi, in quanto essa stessa è un concetto di base. L’idea di insieme viene, pertanto, definita primitiva. Alcuni docenti però ritengono necessario introdurre la definizione di insieme e, a tal proposito, si è scelta come più corretta quella data dal filosofo e matematico Bertrand Russell (1872-1970):

1 1

Un insieme è una collezione di oggetti

Nonostante anche qui sia ben chiaro quale fosse il problema a cui si faceva riferimento in precedenza, si è considerata questa brevissima descrizione molto intuitiva e pratica.

Ad ogni modo, nel concreto, la questione è stata più che risolta in quanto il concetto primitivo di insieme sembra insito nell’uomo o comunque chiaramente identificabile tramite banali esempi.

Dopo aver definito, allora, questi grandi contenitori di oggetti che sono gli insiemi ci si pone un ulteriore quesito: come li riempiamo? Sembra anche questa una domanda molto banale, ma formalmente ammette risposte tutt’altro che scontate. Una delle più corrette e, a mio parere, interessanti, accenna all’utilizzo di trattazioni prettamente filosofiche come le eidos platoniche. Infatti, si considerano tutti i possibili elementi di un insieme nell’Iperuranio, come insiti (quasi e predefiniti dotati di specifici assiomi, per tale ragione vengono indicati con il termine urelementi.

Per indicare, infine, l’insieme composto da tutti i possibili insiemi e, quindi, da tutti i possibili urelementi utilizziamo il simbolo e lo denominiamo insieme universo. Dove:

{ |

≔ = } 2

Richiami al concetto di funzione

Se l’insieme rappresenta la base, il concetto primitivo e insito filosoficamente nell’uomo, la funzione può essere rappresentata come una relazione particolare che permette a due insiemi di “interagire”. La definizione, in questo caso, esiste ed è chiara:

Siano , insiemi. È

Definizione. Una funzione da in è una relazione che lega ad ogni elemento di uno ed un solo elemento di . In simboli:

: → ⇔ ∀ ∈ ∃| ∈ . . () =

Specifichiamo due ulteriori proprietà delle funzioni:

: → ∀, ∈ ≠ ⇒ () ≠ ()

: → ∀ ∈ ∃ ∈ | () =

1 A tal proposito A. N. Whitehead, B. Russell, Principia Mathematica, Cambridge University Press, 1910.

Cioè l’insieme degli oggetti uguali a sé stessi (quindi tutti).

2 Cfr. G. Cantor, La formazione della teoria degli insiemi (scritti 1872-1899), a cura di G. Rigamonti, note di E. Zermelo, Mimesis Edizione, 2012.

L’autore proverà in seguito che l’insieme Universo non è consistente e diviene, quindi, logicamente scorretto parlarne. 2

Infine, una funzione che sia al contempo iniettiva e suriettiva la chiameremo biettiva o funzione equipotenza. Questo secondo termine ci descrive appieno il funzionamento di una biezione: essa lega a tutti gli elementi di un insieme un solo elemento dell’altro insieme e viceversa.