Teoria analisi matematica

Numeri reali

Num. naturali

N = {0, 1, 2, ..., N}

Leggi di composizione interna ad N → addizione moltep.

Num. interi relativi

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ..., ±N}

I anuale sottrazione

∀ a ∈ Z ∃ b ∈ Z / a+b = 0 → b = -a

Num. razionali

Q = {N/m; | N, m ∈ Z, m≠0}

Insieme dei numeri esprimibili sotto forma di frazione.

Sono compresi i num. decimali finiti o illimitati ma periodici.

Sono possibili tutte le operazioni elementari + potenza.

Num. irrazionali

(Num. decimale illimitato non periodico)

Estrazione di radice

Dim. Q non razionalità di √2. Se fosse razionale N/m = √2

Da cui N²/m² = 2. Se m = 1 N² = 2 - assurdo non ∃ non N² de = 2

Se N e m primi tra loro Caso anche N²/m² ∃ ∈

Num. razionali: proprietà

Operazioni definite in Q

a+b = b+a

(a+b) c = a (b+c)

a+0 = a

a+(-a) = 0

a/b = ac

(a+b) = c.a+c.b

a x 1/a = 1; a².1;

Numeri reali

Num. naturali

N = {0, 1, 2, ..., N}

Leggi di composizione interna ad N → addizione multiplicazione

N. interi relativi

Z = {0, ±1, ±2, ±3, ... ±N}

I anche sottrazione

∀ a ∈ Z ∃ b ∈ Z / a+b = 0 → b = -a

Num. razionali

Q = {^N⁄_m, j N, m ∈ Z, m ≠ 0}

Insieme dei numeri esprimibili sotto forma di frazione

Sono compresi i num. decimali finiti e/o illimitati ma periodici

Sono possibili tutte le operazioni elementari + potenza

Num. irrazionali

(Num. decimale illimitato non periodico)

Estrazione di radice

Dim.qu. non razionalità di √2, se fosse razionale ^N⁄_m = √2

Da cui ^N2⁄_m² = 2. Se m=1 ^N2 = 2 - assurdo non ∃ non N² de=2

Se N e m i primi tra loro - Caso anche ^N2⁄_m² ∈ ℤ

Num. razionali: proprietà

Operazioni definite in Q

a+b = b+a

a.b = b.a

(a+b).c= a+(b.c)

c(a.b)= a(b.c)

a+0 = a

a : 1 = a

a + (-a) = 0

a ⁄ ^a⁄₁ = 1 a¹ ≠1

c(a+b) = c.a+ c.b

Campo ordinato

Un insieme che gode delle proprietà indicate di seguito, e in più gode di una relazione di ordine.

Presi 2 numeri a e b qualsiasi, è sempre possibile stabilire quale relazione >oppure

∀ a, b, c a ≤ b ⇒ a+c ≤ b+c

∀ a, b, c se a ≤ b ⇒ a-c ≤ b-c

∀ a, b, c se a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

La relazione di ordine verifica le seguenti proprietà:

∀ a a ≤ a

∀ a, b se a ≤ b, b ≤ a ⇒ a = b

∀ a, b, c se a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c

Rap. geometrica: in un campo ordinato esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri razionali e i punti della retta euclidea

N.B. Queste proprietà valgono anche per numeri reali (irrazionali)

Disuguaglianza triangolare

|a| = {a se a ≥ 0-a se a < 0

∀ a |x| ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a

D.T. ∀ x, y ∈ ℝ |x + y| ≤ |x| + |y|

-|x| ≤ x ≤ +|x|

-|y| ≤ y ≤ +|y|

⇒ -( |x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|

Analisi matematica

1^o semestre

Intervalli

i._o chiuso: [a;b]=\{x \in \mathbb{R} | a \leq x \leq b\}

i aperto: (a;b)=\{x \in \mathbb{R} | a

I limitati: supteriormente e chiuso inferiormente: [a;+\infty)

ill inferiormente e aperto sup: (-\infty;b)

Se \delta_1 = \delta_2 allora si dice INT CIRCOLARE di centro x_0 e raggio

INT SINISTRO(x_0)

INT DESTRO(x_0)

I(x_0)

INT. DI TIPO INFINITO

I(-\infty)

INT PIÙ INFINITO

Insiemi limitati

Def. 1: l'ins si dice superiormente limitato quando esiste un k tale che ogni elem dell'insieme è minore o uguale a k - in questo caso k è il maggiorante.

Def. 2: l'ins si numrico e inferiormente limitato quando esiste un h tale che ogni elem dell'insieme è maggiore o di più eguale al h - è il minorante.

Osserv. Dato insieme A [0; 3] 0 -> minimo 3 -> massimo

ciò non è vuoto e A ins. aperto ]0;3[ 0;3 A

L'estremo superiore è il più piccolo dei maggioranti e si indica SUP(A) analogamente INF(A)

e appartiene ad A allora -