Serie numeriche
Serie geometrica di ragione q ∈ ℝ
Serie geometrica di ragione q ∈ ℝ ∑n=0+∞ qn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
Teorema
Per la serie geometrica si ha ∑n=0+∞ qn =
- Converge a 1/(1-q) se -1<q<1
- Diverge a +∞ se q>1
- È indeterminata se q=1
Dimostrazione
Casi:
-
q = 1
Sn = ∑n=0+∞ 1n = 1 + 1 + 1 + ... + 1n = n+1
limn Sn = limn ∑n=0+∞ 1n = limn (n+1) = +∞
Quindi, se q = 1 allora ∑n=0+∞ qn diverge a +∞.
-
q ≠ 1
Se q ≠ 1, allora 1-q ≠ 0.
Sn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
Serie numeriche
Serie geometrica di ragione q ∈ ℝ
Serie numeriche Serie geometrica di ragione q ∈ ℝ ∑n=0+∞ qn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
Teorema
Per la serie geometrica si ha ∑n=0+∞ qn =
- Converge a 1/(1-q) se −1 < q < 1
- Diverge a +∞ se q ≥ 1
- È indeterminata se q < −1
Dimostrazione
Casi:
-
q=1
Sn = ∑n=0+∞ 1n = 1 + 1 + 1 + ... + 1n = n+1
limn Sn = limn ∑n=0+∞ 1n = limn (n+1) = +∞
Quindi, se q = 1 allora ∑n=0+∞ qn diverge a +∞.
-
q≠1
Se q≠1, allora 1-q≠0.
Sn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
Moltiplicazione dei membri
Moltiplichiamo entrambi i membri per 1-q
Sn(1+q)=(1+q+q2+...+qn)(1-q)=1+q+q2...+qn-q-q2...-qn+1=1-qn+1
Dividendo entrambi i membri per 1-q
Sn=1-qn+1
Ricordando che il limite della successione geometrica di ragione q senza ϵqn supoth{0}{+∞ q>11 se q=10 se -1
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