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Serie Numeriche
Serie Geometrica di Ragione q∈ℝ
∑n=0+∞ qn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
Teorema
Per la serie geometrica si ha
∑n=0+∞ qn =
- Converge a 1/(1-q) se -1<q<1
- Diverge a +∞ se q>1
- È indeterminata se q=1
Dimostrazione:
Casi:
- q = 1
Sn = ∑n=0+∞ 1n = 1 + 1 + 1 + ... + 1n = n+1
limn Sn = limn ∑n=0+∞ 1n = limn (n+1) = +∞
Quindi, se q = 1 allora ∑n=0+∞ qn diverge a +∞.
- q ≠ 1
Se q ≠ 1, allora 1-q ≠ 0.
Sn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
Serie Numeriche
Serie Geometrica di Ragione q∈ℝ
∑n=0+∞ qn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
Teorema
Per la serie geometrica si ha
∑n=0+∞ qn =
- Converge a 1/(1-q) se −1 < q < 1
- Diverge a +∞ se q ≥ 1
- È indeterminata se q < −1
Dimostrazione:
Casi:
- q=1 Sn = ∑n=0+∞ 1n = 1 + 1 + 1 + ... + 1n = n+1 limn Sn = limn ∑n=0+∞ 1n = limn (n+1) = +∞ Quindi, se q = 1 allora ∑n=0+∞ qn diverge a +∞.
- q≠1 Se q≠1, allora 1-q≠0. Sn = 1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn
Moltiplichiamo entrambi i membri per 1-q
Sn(1+q)=(1+q+q2+...+qn)(1-q)=
1+q+q2...+qn-q-q2...-qn+1
=1-qn+1
dividendo entrambi i membri per 1-q
Sn=1-qn+1
Riconrdando che il limite della successione geometrica di ragione q senza ϵ
qn supoth{0}{+∞ q>11 se q=10 se -1
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Scienze matematiche e informatiche
MAT/05 Analisi matematica
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apprese con la frequenza delle lezioni
di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione
dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale
dell'università Università degli studi Ca' Foscari di Venezia o del prof Fasano Giovanni.
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