Teoremi sulle derivate

Teoremi e dimostrazioni di analisi matematica 1

Carmine Pacilio

Indice

• 1 La derivata 2
• 1.1 Estremi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.2 Teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 1.3 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.4 Convessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.5 Approssimazione polinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 La derivata

In questa sezione, oltre a dare le principali definizioni riguardanti le derivate, verranno dimostrati i principali teoremi del calcolo di derivate, oltre che teoremi che impiegano la nozione di derivata per il calcolo infinitesimale.

Definizione 1. Rapporto incrementale

Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo aperto (a, b), e sia x₀ ∈ (a, b), allora per un h sufficientemente piccolo tale che x₀ + h ∈ (a, b) allora definiamo:

[f (x₀ + h) − f (x₀)] / h (1)

Rapporto incrementale della funzione f nel punto x₀.

Definizione 2. Derivabilità

Diremo che una funzione f è derivabile in x₀ se esiste L ∈ R tale che:

lim_h→0 [f (x₀ + h) − f (x₀)] / h = L (2)

Il numero L viene chiamato derivata della funzione f nel punto x₀, che indicheremo con il simbolo f′(x₀).

Definizione 3. Tangente

Se f è derivabile in x₀ allora si definisce tangente al grafico f nel punto P₀ = (x₀, f (x₀)) la retta r di equazione:

r = f′(x₀)(x − x₀) + f (x₀) (3)

Definizione 4. Differenziabilità

Una funzione derivabile in x₀ che soddisfa la formula:

f (x₀ + h) = f (x₀) + f′(x₀)h + hω(h) (4)

In particolare se ∃ L ∈ R allora:

f (x₀ + h) = f (x₀) + Lh + hω(h)

E quindi:

f′(x₀) = L.

Dove ω(h) è una funzione tale che lim_h→0 ω(h) = 0. Si dice differenziabile.

Teorema 1

Una funzione f è differenziabile in x₀ se e soltanto se è derivabile in x₀.

Dimostrazione. Notiamo che la (1) è equivalente alla formula (4) per h → 0, in base alla definizione 4 possiamo quindi riscrivere il rapporto incrementale in questo modo:

[f (x₀ + h) − f (x₀)] / h = L + ω(h)

Da cui otteniamo che:

lim_h→0 [f (x₀ + h) − f (x₀)] / h = L

Teorema 2

Se f è derivabile in x₀ allora f è continua in x₀.

Dimostrazione. La dimostrazione è quasi immediata conoscendo la definizione di differenziabilità. In particolare dobbiamo dimostrare che lim_h→0 f (x₀ + h) = f (x₀) ovvero la definizione di continuità. Basta dunque notare che, per la nozione di differenziabilità:

lim_h→0 [f (x₀ + h) − f (x₀)]