Teoremi Matematica del Continuo

Regolarità successione monotona

Sia a_n una successione monotona crescente (decrescente).

a_n < a_n+1 ∀n (a_n > a_n+1 ∀n) (1) ⇒ ∃ lim a_n = sup a_n (lim a_n = inf a_n) (2)

Dimostrazione

Pongo L = sup a_n, grazie alle caratteristiche di estremo superiore abbiamo che

a_n ≤ L ∀n ∈ ℕ (def di maggiorante) (3)

∀ε>0 ∃n ∈ ℕ : a_nε > L - ε (min maggiorante) (4)

Da (1), (3) e (4) troviamo

L - ε < a_nε ≤ a_n ≤ L ≤ L + ε

Dunque segue che ∀ε>0 ∃n ∈ ℕ : ∀n ≥ n_ε |a_n - L| < ε (def di limite)

In modo analogo si dimostra il teorema per le successioni decrescenti.

Regolarità

Sia a_n una successione monotona crescente (decrescente).

(1) a_n < a_n+1 ∀n (a_n > a_n+1 ∀n) ⇒ ∃ lim a_n = sup_n (lim a_n = inf_n) (2)

Dimostrazione

Pongo L = sup a_n, grazie alle caratteristiche di estremo superiore abbiamo che

• a_n ≤ L ∀n ∈ ℕ (def di maggiorante) (3)
• ∀ε > 0 ∃n ∈ ℕ : a_n > L−ε (min maggiorante) (4)

Da (1), (3) e (4) troviamo

L−ε < a_nε ≤ a_n ≤ L ≤ L + ε

Dunque segue che ∀ε > 0 ∃n_ε ∈ ℕ : ∀n ≥ n|a_n−L | < ε (def di limite)

In modo analogo si dimostra il teorema per le successioni decrescenti.

Criterio della radice/rapporto

≥ 0

₊₁/ → √ → L < 1 ⟹ → 0⁺ (1)

L > 1 ⟹ → ∞ (2) L = 1 NON si può utilizzare il criterio

Dimostrazione

Caso 1: √ → ⟹ √ sta in un intorno di .

Scegliamo un intorno di abbastanza piccolo tale che il margine destro sia < 1,∀ε > 0, | − | < ε del (del limite).

0 < √ < + ε

0 ≤ < ( + ε) per il teorema del confronto

→ 0 (poiché ( + ε) → 0 infatti 0 < < + ε < 1)

Caso 2: √ → ⟹ √ sta in un intorno di .

Scegliamo un intorno abbastanza piccolo tale che il margine sinistro sia > 1. + ε ≤ √ ≤ inf

( + ε) ≤ ≤ inf per il teorema del confronto

→ ∞

Teorema degli zeri

Se f continua in [a,b]

se f(a)∙f(b)<0 ⇒ ∃c∈[a,b] t.c f(c)=0.

Dimostrazione

Utilizziamo l'algoritmo di bisezione:

c=(a+b)/2;

while (f(c)!=0) {

• if (f(c)<0) then a=c,
• else b=c;
• c=(a+b)/2;

}

[a_n,b_n] intervallo all'n-esimo passo

I=[a,n] intervallo iniziale

|T_n| lunghezza dell'intervallo = b_n-a_n

Ad ogni passo si dimezza la lunghezza: |T_n|=|T_n-1|/2 fino ad arrivare a |T_n|=|I|/2ⁿ

Dopo ogni passo notiamo che l'estremo sinistro cresce con ≥ mentre l'estremo destro decresce.

a_n-1<a_n<b_n≤b_n-1 crescente decrescente

Essendo successioni monotone, ammettono limite

lim a_n:=sup_an lim b_n:=inf_bn → c

lim (b_n-a_n)=lim |T_n|=lim |I|/2ⁿ=0 → inf_an

Voglio dimostrare che P(c)=0.

So che a_n→c e b_n→c. Inoltre f(a_n