Teoremi di Hopital, Taylor, Weierstrass

Teorema di De L'Hôpital

Questo teorema serve a calcolare i limiti delle funzioni indeterminate.

f(x), g(x) continue e derivabili in un intervallo:

^a_{INTERVALLO c:} F.I. ⁰/₀ forma Indeterminata (o ^∞/_∞)

Applico il teorema:

^{lim f'(x)} = ^{lim f'(x)}_{x -> c} g'(x) _{x -> c} g'(x)

Esempio

0f(c) = 0 e g(c) = 0 = ^f(x) |^{f(c) - f(c)} |^{g(x) - g(c)g(x)} - g(c) _{x - c} | _{x - c} | _{x - c}

Ne calcolo il limite:

^{lim f'(x)} = ^{f(x) - f(c) / g(x) - g(c)}_{x -> c} g'(x) _{x -> c x - c}

9-3-2015

F.I. [∞/∞] ⇒ lim ^f(x)_{x -> c} ^g(x)

Le g sono funzioni derivabili in un intervallo [x, c] funz. Esiste sempre rapporto di L'Hôpital.

Esempio

x ^{-1 lim f(x)}_{x -> a} ^g(x)

a(x) e b(x) derivabili, c ∈ intervallo ∃ limit (a, b)^∞ ⇒ lim ^f'(x)_{x -> c} ^g'(x)

Andiamo a verificare la condizione di cui sopra rapporto di L'Hôpital.

Esempio

lim ^x∞ x₂^{x ---no ∞}

Risolvo suppongo sol requisito: utilizzare la scala degli infiniti.

Teorema di De L'Hôpital

Questo teorema serve a calcolare i limiti delle funzioni indeterminate.

Ipo: 1) f(x) continua e derivabile in un intervallo: (a,b)

f=> Forma indeterminata

Applico il teorema.

Esempio

Ne calcolo il limite.

lim F.I. Es: F.I. Se esiste il limite il limite di Esemp:

F.I.: calcolare il limite.

9-3-2015

Osservazioni

Se _x ^f(x) _g(x) non esiste, non è possibile dire qualcosa su

Esempi

• _x ^sinx _x Risolvo il limite della derivata _x ^cosx = cos⁰ =1, quindi _x ^sinx =1
• _x ^(1+x)α−1 _x Risolvo il limite della derivata: _x ^{α(1+x)α−1} =α quindi _x ^(1+x)α−1 =α
• _x ^1−cosx _x Risolvo il limite della derivata _x ^sinx =1 _x =13
• _x ^sinx−x Risolvo il limite della derivata: _x ^cosx−1 =1 _x =1 quindi _x ^sinx−x =1
• _x ^ex−1−x2 _x² Risolvo il limite della derivata: _x ^ex−1 =¹ ₆

Limite notevole che in questo caso tende a 1.

Applico de l'Hôpital.

E comunque per _x lim ^ex−1+x2 _x2

Riscrivo una nuova irrilevante ogni caso.

Usiamo subito la derivata.

• x lnx =∞ x
• Rieseguo la toga e ricomponiamo quindi otteniamo 2 ∫−1 (−x)
• x ln2x x Nuovamente forma x→+∞
• x =√x
• Rieseguo e poi compongo un x+∞
• Quindi x ln2 x x
• Ripetuto quindi 1 x = ∞

Permettono il limite delle derivate n+2 E I 1 a= 1.

Se n=1: ln(e^x+sinx) e lavoro n: (n l)x ln(x) n l cos x+se n 1.

Se n > 2 il limite = infinito.

ln(x) = 0/x stentiamo * log x=x-0' x -> 0.

Supponiamo comunque di dover applicare il il registro di si. > ln_x = ln (0/S) con basi di a partecio chesepoundei ^xx per [ilrisicato] i due (0⁰) ln(x) a ln(s) z uso delle forme.

Considerissimo a parte di e stesso f dice lim/x xvolg anche il procedimento inverso. Consideriamo "x" ma uso la parte che prendebisogno di 2.

Teorema di Weierstrass

Se f continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora ammette sempre massimo e minimo globale.

Punto di f e continua in x₀.

Questa funzione determina il massimo valore assoluto di una funzione f.

Se f è derivabile.

Questa è la migliore retta, non necessaria è una costante. Le approssimazioni di f(x).

Ma ora lo tenuto conto delle approssimazioni fatte con delle rette.

Adesso approssimiamo con la funzione parabola.

La miglior parabola che approssima f(x), se f ammette derivata seconda, è:

Teorema di Taylor

È un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabili ottenute con dei dati.

Medianti il Polinomio di Taylor, coefficenti calcolati con le derivate della funzione nel punto:

n indica il grado del polinomio.

L'idea del polinomio di Taylor è, quella di approssimare una funzione con un polinomio, una successione crescente in modo globale locale, in modo vicino al punto.

Quindi si fa definizione e derivabile "nume" di volte in un cerchio intorno a x₀.

Il codici purché le funzioni convergano dentro celle funzione zero x.

Sono sempre con il ricalcuno di Taylor.

Funzioni espresse di Taylor

g(x) = e^x con x₀ = 0 (Centro in 0)

g'(x) = e^x

In tutti questi casi la f(0) è precisa sela f(0) è lavoro con rubberpoi ci g₀ esempio e f.

g'(x₀) = g(x)₀ g'(x₀) = g"⁰(x₀)

Quindi tutte e derivate esprimono 1 se x₀ = 0.

Polinomio di Taylor si può scrivere come:

T_n(x)=_k=0∑^{∞ xk}/_k!

g(x) = sinx con x₀ = 0

g'(x) = cosx →

g''(x) = -sinx →

g'''(x) = -cosx →

g''''(x) = sinx →

g'''''(x) = cosx →

g''''''(x) = -sinx

g'(x₀) = cosx → x₀ = 0 ⇒ 1

g''(x₀) = -sinx → x₀ = 0 ⇒ 0

g'''(x₀) = -cosx → x₀ = 0 ⇒ -1

g''''(x₀) = -sinx → x₀ = 0 ⇒ 0

g''''''(x₀) = cosx → x₀ = 0 ⇒ 1

In derivante di ordine pari, il risultato è 0 e quando 10 termina con 0.

In derivante di ordine dispari, invece, si alterna tra 1 e 1.

Quando:

T₀ = 0, T₁ = 1 + 0 0 g'(x) (x - x₀), T₂ = x

T₄ = x - x³/_3!