Teorema di Cauchy

Teorema di Cauchy

Enunciato

Siano f(x), g(x) due funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b). Se g'(x) ≠ 0 per ogni x ∈ (a,b), esiste un punto x₀ ∈ (a,b) tale che ^f'(x₀)/_g'(x0) = ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)}

Hp.

• F(x), g(x) continue in [a,b]
• F(x), g(x) derivabili in ]a,b[
• G'(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a,b[

Ts.

∃ x_c ∈ ]a,b[, ^f'(x_c)/_g'(xc) = ^{f(b) - f(a)}/_{g(b) - g(a)}

La dimostrazione consiste nel creare una funzione ausiliaria che soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle.

• F(c) = F(b)

La funzione viene chiamata S(x) ed è definita come: S(x) = f(x) - k_g(x)

Naturalmente f(x) e g(x) soddisfano le ipotesi 1) e 2). Creando questa funzione ausiliaria bisogna fare in modo che essa soddisfi le 3 ipotesi di Rolle, e tramite il teorema di Rolle viene dimostrato.

In particolare bisogna fare in modo che S(a) = S(b)

{ S(a) = f(a) - k_g(a)

{ S(b) = f(b) - k_g(b) → f(a) - k_g(a) = f(b) - k_g(b)

k_g(b) - k_g(a) = f(b) - f(a)

Teorema di Cauchy

Enunciato

Siano f(x), g(x) due funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b). Se g'_(x) ≠ 0 per ogni x ∈ (a,b), esiste un punto x₀ ∈ (a,b) tale che

Hp.

• F(x), g(x) continue in [a,b]
• F(x), g(x) derivabili in ]a,b[
• G'(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a,b[

Ts.

∃ x_c ∈ ]a, b[, f'(x_c) / g'(x_c) = [ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ]

La dimostrazione consiste nel creare una funzione ausiliare che soddisfi la terza ipotesi del teorema di Rolle.

• F(c) = f(b)

La funzione viene chiamata S(x) ed è definita come: S(x) = f(x) - k_g(x)

Naturalmente f(x) e g(x) soddisfano le ipotesi 1) e 2) di questa funzione ausiliare bisogna fare in modo che essa soddisfi le 3 ipotesi di Rolle, e tramite il teorema di Rolle verrà dimostrato.

In particolare bisogna fare in modo che S(a) = S(b)

{ S(a) = f(a) - k_g(a)

S(b) = f(b) - k_g(b) } ⟶ f(a) - k_g(a) = f(b) - k_g(b)

k_g(b) - k_g(a) = f(b) - f(a)

k(g(b)-g(e)) = f(b)-f(e)

k = ^f(b)-f(e)/_g(b)-g(e)

Adesso sostituendo k alla funzione S(x) otteniamo una funzione che soddisfa oltre che l’ipotesi di Rolle.

S(x) = f(x) - k g(x) = f(x) - ^f(b)-f(e)/_g(b)-g(e) g(x)

S(x) = f(x) - ^f(b)-f(e)/_g(b)-g(e) g(x)

*È lecito chiedersi per quale motivo non sia stato imposto g(b)-g(e) ≠ 0 (denominatore ≠ 0); il perché è già insito nell’ipotesi di Cauchy, in particolare g(x) ≠ 0 e sta a significare, al limite, che g(b)-g(c) ≠ 0, contrariamente se avessimo esatto g(b) = g(e) per il teorema di Rolle, ∃ xc ∈ ] e, b[ per cui: g’(xc) = 0 che va contro l’ipotesi che g’(x) ≠ 0.*

Adesso S(x) soddisfa tutta l’ipotesi del teorema di Rolle, quindi andiamo a verificare se effettivamente S(a) = S(b) sostituendo i due valori ‘e’ e ‘b’.

S(e) = f(e) - ^f(b)-f(e)/_g(b)-g(e) g(e) - f(e) [ g(b)-g(a)] - g(e) [ ^f(b)-f(a)/_g(b)-g(e) ] == ^{f(e)g(b) - f(e)g(e) - g(e)f(b) + g(e)f(e)}/_g(b)-g(e) == ^{f(e)g(b) - g(e)f(b)}/_g(b)-g(e) = S(e)

S(b) = f(b) - ^f(b)-f(e)/_g(b)-g(e) g(b) - g(b) [ ^f(b)-f(a)/_g(b)-g(e) ] -- ^{f(b)g(b) - f(e)g(b) - g(b)f(b) - f(e)g(b)}/_g(b)-g(e) = g(b)f(b) - f(b)g(b) = S(b)