Teorema della perpendicolare: enunciato e dimostrazione

Teorema della perpendicolare

Nel seguente appunto visualizzeremo la dimostrazione del teorema della perpendicolare. Come ogni teorema, esso ha un suo enunciato e una sua dimostrazione. In particolare, qua si tratta di dimostrare l'unicità dell'esistenza di un certo elemento. Per dimostrare l'unicità di qualcosa bisogna seguire sostanzialmente due passaggi.

Dimostrazione dell'unicità di qualcosa

Come detto in introduzione, per dimostrare l'unicità di qualcosa (cioè che questa cosa esiste ed è unica) bisogna effettuare due passaggi: il primo passaggio consiste nel determinare l'esistenza di questo elemento; mentre il secondo passaggio si occupa di dimostrare che tale elemento è unico (oppure, equivalentemente, che non ne esiste più di uno, che non ce ne sono altri). Per fare questo si può, volendo, procedere per assurdo, supponendo l'esistenza di un altro elemento che rispetti le proprietà definite nell'enunciato; una volta trovata la contraddizione (cioè l'impossibilità dell'esistenza di tale elemento) abbiamo dimostrato l'unicità di tale elemento. Procederemo in questo modo per la dimostrazione del teorema.

Retta perpendicolare - definizione

Date due rette

diciamo che è perpendicolare a se gli angoli che si formano nel loro punto di incontro sono tutti retti (cioè pari a ).

In geometria analitica, diremo che due rette sono perpendicolari se il coefficiente angolare di una retta è l'antireciproco dell'altro, oppure, equivalentemente, se il prodotto dei loro coefficienti angolari è pari a

.

Per ulteriori approfondimenti sulla retta in geometria analitica vedi anche qua

Enunciato del teorema della perpendicolare

Data una retta

e un punto esterno ad essa esiste ed è unica la perpendicolare condotta dal punto alla retta .

Dimostrazione del teorema della perpendicolare

Dimostreremo prima di tutto l'esistenza della perpendicolare.

Si faccia riferimento alla figura in allegato.

Prendiamo tre punti

sulla retta e sia il punto esterno ad essa, in modo tale che venga verificata la disuguaglianza .

Si prenda ora il punto

tale che e .

Allora avremo che il triangolo

è isoscele su base , e, in particolare, per definizione di bisettrice si ha che è bisettrice dell'angolo . In un triangolo isoscele, inoltre, è noto che la bisettrice uscente dal vertice coincide con l'altezza uscente dal vertice, per questo accade che tale bisettrice è perpendicolare alla retta . Per questa ragione, dato un punto esterno ad una retta esiste sempre la retta per perpendicolare a (nel nostro caso la retta ), come volevasi dimostrare.

Dimostreremo ora l'unicità della perpendicolare.

Si supponga, per assurdo, che la perpendicolare non sia unica. Chiamiamo

l'intersezione tra la retta e la retta . Si supponga quindi che esista un ulteriore punto tale che sia perpendicolare alla retta , e si supponga inoltre che questo punto sia distinto (cioè diverso) dal punto . Essendo avremo che , e, avendo dimostrato l'esistenza della perpendicolare avremo inoltre .

Consideriamo ora il triangolo di vertici

. È noto che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto, ossia a . Per questo motivo dovremmo avere che la somma degli angoli interni di tale triangolo sia anch'essa pari ad un angolo piatto: cioè deve aversi . Sappiamo già due di questi angoli, cioè i primi due addendi della somma, e avremo quindi cioè , assurdo, dato che l'angolo interno di un triangolo non può essere nullo; oppure, detto in altre parole, è impossibile che un triangolo abbia più di un singolo angolo retto, ma qui ne avrebbe avuti ben due.

Per ulteriori approfondimenti sulla somma degli angoli interni di un triangolo vedi anche qua