Teorema della media integrale con esempio

Teorema della media integrale

Sia f una funz. continua in [a, b]. Allora ∃ c ∈ [a, b] t.c. ∫_a^b f(x) dx = f(c) (b-a).

Il valore f(c) = ¹⁄_b-a ∫_a^b f(x) dx si dice media integrale di f in [a, b].

Significato geometrico

Scegliamo f(x) > 0.

Dim.

Poiché f è una funz. continua, poss. applicare il teorema di Weierstrass e dì, in un intervallo chiuso e limitato m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a, b].

Per la proprietà di monotonia dell'integrale definito rispetto risulta che ∫_a^b m dx ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b M dx.

Oss. ∫_a^b K dx = K = K(b-a).

L'oss. precedente ci dà: m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b-a).

m ≤ ¹⁄_b-a ∫_a^b f(x) dx ≤ M.

Per il teorema di valori intermedi, la f.m.i. assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.

∃ c ∈ [a, b] t.c. f(c) = ¹⁄_b-a ∫_a^b f(x) dx = ¹⁄_b-a ∫_a^b f(x) dx = f(c)(b-a).

Teorema della media integrale

Sia f una funzione continua in [a, b]. Allora ∃ c ∈ [a, b] t.c. ∫_a^b f(x) dx = f(c)(b-a).

Il valore f(c) = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx si dice media integrale di f in [a, b].

Significato geometrico

Scegliamo f(x) > 0.

Dim.

Poiché f è una funzione continua, poss. applicare il teorema di Weierstrass e def. in un intervallo chiuso e limitato.

m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a, b].

Per le proprietà di monotonia dell'integrale definito rispetto... Risulta che ∫_a^b m dx ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b M dx.

Osservazione. ∫_a^b K dx = K = K(b-a).

L'espressione precedente ci dà: m(b-a) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ M(b-a).

m ≤ (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx ≤ M.

Per il teorema dei valori intermedi, la f.m.i. assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.

∃ c ∈ [a, b] t.c. f(c) = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx = (1/(b-a)) ∫_a^b f(x) dx = f(c)(b-a).