Telecomunicazioni per l'aerospazio - Parte Segnali

Telerilevamento e descrizione dei segnali

Esempi di telerilevamento che sfrutta i segnali sono i Radar, i GPS, ecc. Ma come si descrivono i segnali? Un segnale S(t) è l'andamento nel tempo di una data grandezza fisica che evolve in funzione di altre grandezze indipendenti. Quindi, una grandezza che evolve nel tempo.

Tipologie di segnali

I segnali possono essere:

• Continui, la variabile indipendente è continua s(t)
• Discreti, nel tempo non è continuo, non abbiamo un andamento continuo nel tempo s(nT), abbiamo dei campioni

I segnali discreti sono ottenuti dai segnali continui. Inoltre, distinguo il segnale analogico dal segnale digitale:

• Analogico, tempo continuo con ampiezze continue
• Digitale, tempo discreto con ampiezze discrete

Per passare da un segnale analogico ad un segnale digitale devo fare un campionamento. I computer fanno questo lavoro utilizzando il sistema binario. Facendo questo lavoro sto approssimando, dunque sto perdendo informazioni, ho una perdita. Quanti campioni devo prendere? A distanza di quanto tempo? Devo campionare con un tempo di campionamento sufficientemente piccolo così che riesco a ricostruire il segnale in maniera coerente.

Frequenza e campionamento

Nel momento in cui campiono si pone il problema della frequenza, ovvero, che frequenza occupa il mio segnale? Se occupa frequenze contenute allora riesco a campionarlo senza perdite. Preso un segnale ci interessa sapere, esso è di energia o di potenza?

Segnali di energia e di potenza

Quindi per vedere se un segnale è di energia devo fare l'integrale di s(t)², e vedo se è finito o no. Di norma qualsiasi segnale limitato in tempo è un segnale di energia (esempio il segnale rettangolare rect). Qualsiasi segnale di energia ha potenza media pari a 0 (non la potenza istantanea).

Un segnale sinusoidale e cosinusoidale invece ha sempre energia infinita (quindi non è un segnale di energia) e ha potenza finita (=A/2), quindi si tratta di un segnale di potenza. Questo vale per ogni segnale periodico.

Operazioni sui segnali

Alcune operazioni sui segnali sono ad esempio la traslazione, dunque ritardare o anticipare il segnale di un valore tau.

Vediamo alcune funzioni importanti:

Impulso (Delta di Dirac)

Definito come un rettangolo di base T e altezza 1/T con T → 0. Esso ovviamente ha area unitaria. Posso anche definire l'impulso come la derivata dello scalino e viceversa. Alcune proprietà:

Segnale come combinazione lineare di impulsi nell'analogico: sto decomponendo il segnale in infiniti segmenti. Qualunque segnale discreto o continuo può essere espresso in questo modo. Questo ci serve sapere come esce un segnale da un sistema in cui entra.

Sistemi e risposta impulsiva

Nel discreto: sistema: un box in cui entra il segnale e da cui esce. Vale la sovrapposizione degli effetti, quindi l'effetto deve essere lo stesso se fosse 1 oppure più di un segnale. A noi interessano i sistemi lineari, ovvero quando l'uscita generata dalla combinazione lineare di due o più ingressi è uguale alla combinazione lineare delle uscite che sarebbero state generate separatamente dai singoli ingressi.

Sistemi tempo-invarianti

Quando l'uscita generata da un segnale ritardato è uguale all'uscita generata dal segnale originale, ritardata della stessa quantità: a noi interessano i sistemi che siano entrambi. Risposta impulsiva: uscita di un segnale impulsivo, ovvero un delta di Dirac. Ovviamente se il sistema è LTI allora avrò un'uscita che mantiene il ritardo e che ho una combinazione lineare del segnale d'ingresso.

A cosa mi serve questo? Per determinare l'uscita di un segnale da un sistema, vediamo come:

Nel discreto: nell'analogico: deduciamo anche che la convoluzione è simmetrica. Quindi con y intendiamo il segnale in uscita, con x il segnale in entrata e con h la risposta impulsiva. Questo risultato è estremamente importante per definire l'uscita di tutti i segnali.

Affinché il sistema esista, una risposta impulsiva deve essere nulla prima che arrivi l'impulso, quindi h(t) = 0 se t < 0. Somma di convoluzione nel discreto (digitale): integrale di convoluzione nel continuo (analogico):

Segnale complesso

Il segnale complesso è un'astrazione, non esiste, ma ci serve. Prendiamo come esempio il segnale: ho una proiezione sull'asse reale (quindi coseno) e la proiezione sull'asse immaginario (quindi seno). Segnale perfettamente periodico poiché composto da due segnali periodici che ruotano nel tempo in verso antiorario, caratterizzato da: ampiezza, frequenza e fase.

Se la frequenza è negativa allora abbiamo una rotazione in senso orario. Se ho contemporaneamente entrambi basta che faccio la somma vettoriale e ottengo un valore reale. Il seno e coseno posso esprimerli come combinazione lineare dell'esponenziale complesso:

Ora vediamo quando entra un segnale esponenziale complesso in un sistema LTI, vediamo cosa esce (devo fare la convoluzione tra la risposta impulsiva e il segnale complesso), ovviamente immagino sempre la nota la risposta impulsiva: quindi esce lo stesso segnale moltiplicato per un valore H(f₀) = funzione di trasferimento. Essa descrive come vengono modificate ampiezza e fase di un esponenziale complesso quando passa attraverso un sistema LTI.

La funzione di trasferimento

Il segnale complesso è un'autofunzione dei sistemi LTI. La funzione di trasferimento per sistemi reali (risposta impulsiva reale) ha simmetria coniugata, ovvero H(-f₀) = H*(f₀), ovvero hanno parte reale con stesso segno ma parte immaginaria con segno opposto.

Esempio: questo vale per ogni combinazione di seni e coseni, quindi l'unica difficoltà sta solo nel calcolare H(f) poiché l'uscita del segnale dipende solo da lui.

Segnali periodici e serie di Fourier

Ora invece voglio vedere i segnali periodici, come sarà l'uscita? Per dare una risposta ci viene in aiuto la Serie di Fourier che ci dice che ogni segnale periodico può essere decomposto come somma di infinite sinusoidi o cosinusoidi a frequenza multipla della fondamentale: la frequenza fondamentale è 1/T₀ (quella del seno e coseno) e poi abbiamo n/T₀ con n che va all'infinito.

La serie di Fourier mi dice anche come calcolare i coefficienti Xp(n). Un esempio è quello dell'onda quadra: H(f) quindi è un numero complesso che tratta il segnale in entrata e ne modifica la fase e l'ampiezza, si comporta dunque da filtro. Questi però sono ideali poiché non esistono davvero.