Tecniche attuariali - Appunti

Assicurazioni sulla vita e rendite

1.1: Capitale differito

Il capitale differito (n-year pure endowment) è una forma di assicurazione libera sulla vita. È un contratto mediante cui una compagnia assicurativa, dietro pagamento di un premio e relativamente ad un individuo di età x, corrisponde un capitale prestabilito (che per ora assumiamo essere unitario) dopo n anni, e solo se l’individuo sarà ancora in vita.

Ricordiamo che la durata residua di vita per una testa di età x si indica con. Ovvero l’età di morte è . Ovviamente è una variabile T_x + T T_x x x aleatoria poiché la testa di età x non sa a che ora morirà.

Indichiamo perciò il valore attuale del capitale differito come segue:

0 se T ≤n
Y_x = vⁿ se T >n

A questo punto possiamo introdurre una misura di importanza fondamentale in ambito demografico, il cosiddetto valore attuale attuariale, che altro non è che il valore atteso del valore attuale del capitale differito:

E_xⁿ = E(Y) = vⁿ · P(T_x >n) = vⁿ · p_xⁿ.

Il valore attuale attuariale è altresì indicato con la seguente notazione¹ (notazione anglosassone): Ā_{x: n|}. La regola di notazione è che se la prestazione è in caso vita, il numero 1 (ovvero il valore differito del capitale) va sopra la n, se è in caso morte, allora va sopra la x.

Possiamo determinare anche la varianza attuariale del capitale differito:

Var(Y) = E(Y²) − (E(Y))² = E((Y)²) = v²ⁿ · p_xⁿ, con: momento 2° di Y.

Possiamo quindi considerare come fattore di sconto demografico, ovvero E_xⁿ il valore attuale di una unità di capitale che sarà disponibile tra n anni solo in caso di sopravvivenza (se la somma assicurata non è unitaria, ma pari a C, allora il valore attuale attuariale è dato da C · E_xⁿ). Il corrispondente fattore di montante demografico (ovvero la somma che, tra n anni, dovrebbe in media ricevere una testa di età x che ceda oggi ad un assicuratore un’unità di capitale) è ricavabile come segue: 1 / E_xⁿ.

Concludiamo il paragrafo con i cosiddetti commutatori. Servono per agevolare i calcoli e li possiamo trovare già tabulati nelle tavole demografiche o attuariali.

Poniamo: D_x = v^x · l_x.

Da cui ricaviamo: E_xⁿ = D_x+n / D_x.

1.2: Assicurazioni caso morte (caso continuo)

Tra le assicurazioni caso morte distinguiamo (avendo ben a mente per tutto il paragrafo l’ipotesi semplificatrice che il capitale assicurato venga pagato esattamente all’istante di morte, ovvero ci occupiamo del caso continuo):

• Caso vita intera: un soggetto di età x assicura ad un beneficiario una certa somma alla propria morte. Distinguiamo nuovamente due casi particolari:
  • Caso non differito (whole life insurance): in questo caso la copertura assicurativa è valida a partire dal momento stesso di stipula del contratto. Il valore attuale attuariale è definito come: Ā_x = E(Y) = ∫₀^+∞ v^t f_x(t)dt = ∫₀^+∞ v^t · p_x^t · μ_x+t dt, con densità di probabilità di morte della testa con età x (vedi sezione dimostrazioni); forza di mortalità della testa di età x, μ_x+t, nell’intervallo [x, x+t].

Questa formula trova giustificazione nel fatto che la testa può morire in qualsiasi istante t compreso tra 0 e +∞ e in tal caso riceve al tempo t un importo il cui valore attuale (alla data di stipula) è v^t.

Per calcolare la varianza attuariale del capitale assicurato si usa la seguente formula:

Var(Y) = E(Y²) − (E(Y))² = ∫₀^+∞ v^2t · p_x^t · μ_x+t dt − (Ā_x)².

• Caso differito (u-year deferred whole life insurance): la copertura assicurativa inizia non al momento della stipula, ma a partire da un istante u > x. Il valore attuale attuariale è dato da: Ā_u/x = ∫_u^+∞ v^t f_x(t)dt = ∫_u^+∞ v^t · p_x^t · μ_x+t dt; la notazione anglosassone è identica a quella appena vista.

Il differimento equivale alla differenza di due polizze temporanee: Ā_u/x = Ā_x − Ā_u/x.

• Caso temporaneo: un soggetto di età x assicura ad un beneficiario una certa somma alla propria morte se questa avviene entro i prossimi anni (ovvero prima che egli arrivi a compiere x+n anni). Anche in questo caso si distinguono due casi particolari:
  • Caso non differito (n-year term life insurance): di nuovo, la copertura assicurativa è valida a partire dal momento della stipula. La formula per il calcolo del valore attuale attuariale è quasi identica a quella del caso vita intera, con l’eccezione che il secondo estremo di integrazione è n: Ā_x/n = E(Y) = ∫₀ⁿ v^t f_x(t)dt = ∫₀ⁿ v^t · p_x^t · μ_x+t dt; vi sono anche delle notazioni alternative (Ā_{n x} oppure in notazione anglosassone Ā_{x: n|} che è diversa da quella vista in precedenza perché l’1 è sopra la x e non sopra la n).
  • Caso differito (u-year deferred n-year term life insurance): nuovamente, la copertura assicurativa comincia a partire da un periodo u > x. La formula per il calcolo del valore attuale attuariale è data da: Ā_{u/n x} = E(Y) = ∫_u^u+n v^t f_x(t)dt = ∫_u^u+n v^t · p_x^t · μ_x+t dt; o in notazione anglosassone Ā_{u/x: n|}.

Il differimento equivale ancora alla differenza di due polizze temporanee: Ā_{u/n x} = Ā_{n+u x} − Ā_u/x; vedi sezione dimostrazioni.

1.3: Assicurazioni caso morte (caso discreto)

Ora consideriamo un caso discreto, in cui la somma viene pagata alla fine dell’anno di morte. In questo caso il valore attuale è dato da: Y = v^K_x+1.

• Caso vita intera:
  • Caso non differito (discrete whole life insurance): se l’assicurato sopravvive per meno di un anno (ovvero quando K_x = 0), il che si verifica con probabilità q_x/1⁰, il valore attuale attuariale della prestazione è v. Se sopravvive per più di un anno ma meno di due (K_x = 1), il che si verifica con probabilità q_x/1¹, il valore attuale attuariale della prestazione è v². E così via… Perciò, in conclusione, il valore attuale attuariale di una prestazione assicurativa sulla morte a vita intera è dato da: A_x = E(Y) = v · q_x/1⁰ + v² · q_x/1¹ + v³ · q_x/1² +...= ∑_k=0^+∞ v^k+1 · q_x/1^k.

Con q_x/1^k che rappresenta la probabilità di morte differita, ovvero la probabilità che un individuo di età x muoia nell’intervallo ]x+t, x+t+u]. Questa probabilità è data dal prodotto tra la probabilità che una testa di età x viva per almeno altri k anni, e la probabilità che una testa di età x+k muoia nei prossimi u anni. L’unica differenza di notazione rispetto al caso continuo è data dalla mancanza della barra orizzontale sopra ad A.

Se assumiamo che l’età massima che un individuo può raggiungere sia comunque minore di un certo valore ω, allora: A_x = ∑_k=0^ω−x−1 v^k+1 · q_x/1^k.

Se consideriamo il commutatore C_x = v^x+1 d_x ⇒ C_x+k = v^x+k+1 d_x+k, possiamo ridefinire il valore attuale attuariale come segue: A_x = (C_x + C_x+1 +...+C_ω−1) / D_x = ∑_k=0^ω−x−1 C_x+k / D_x = M_x / D_x.

• Caso differito (u-year deferred whole life insurance): si ricava il caso differito in maniera del tutto simile a quella vista in precedenza: il primo estremo della sommatoria non è più k=0 ma k=u>x. Abbiamo perciò il seguente valore attuale attuariale: A_u/x = ∑_k=u^ω−x−1 v^k+1 · q_x/1^k oppure A_u/x = ∑_k=u^+∞ v^k+1 · q_x/1^k.

Di nuovo, la polizza differita equivale alla differenza tra due polizze temporanee: A_u/x = A_x − A_u/x.

• Caso temporaneo:
  • Caso non differito (discrete n-year term life insurance): il capitale è pagato solo se il soggetto muore entro i prossimi n anni. Definiamo il valore attuale attuariale come segue: A_x/n = ∑_k=0ⁿ⁻¹ v^k+1 · q_x/1^k; si usa n−1 come estremo della sommatoria perché se k=n significa che l’assicurato muore in n, e quindi cade al di fuori della copertura assicurativa. Le notazioni alternative sono simili al caso continuo, ma senza barra, ovvero A_{n x}¹ e, in notazione anglosassone A_{x: n|}.

Riprendiamo anche in questo caso il commutatore C_x, e riformuliamo il valore attuale attuariale come: A_x/n = ∑_k=0ⁿ⁻¹ C_x+k / D_x = (M_x − M_x+n) / D_x.

• Caso differito (discrete u-year deferred n-year term life insurance): in questo caso il valore attuale attuariale è dato da: A_{u/n x} = ∑_k=u^u+n−1 v^k+1 · q_x/1^k; o in notazione anglosassone A_{u/x: n̄|}.

Usando i commutatori la polizza temporanea differita è rappresentabile come segue: A_{u/n x} = (M_x+u − M_x+u+n) / D_x.

Ancora, la polizza differita è esprimibile come differenza tra polizze temporanee: A_{u/n x} = A_{n+u x} − A_u/x.

Per calcolare i valori attuali attuariali per polizze caso morte discrete, si possono usare anche le cosiddette formule ricorsive:

• Caso temporaneo non differito: riprendiamo la formula e sviluppiamo i calcoli: A_x/n = ∑_k=0ⁿ⁻¹ v^k+1 · q_x/1^k = vq_x + ∑_k=1ⁿ⁻¹ v^k+1 · p_x · q_x+1^k−1 = vq_x + vp_x · ∑_k=0ⁿ⁻² v^k+1 · q_x+1/1^k.

Quindi, in conclusione, abbiamo: A_x/n = vq_x + vp_x · A_x+1/n−1.

• Caso vita intera non differito: seguendo lo stesso procedimento, si ottiene: A_x = vq_x + vp_x · A_x+1.

1.4: Assicurazioni caso morte (caso frazionato)

Continuiamo in questo paragrafo, considerando il caso frazionato, ovvero il caso in cui i pagamenti avvengono alla fine di un periodo (con 1 anno suddiviso in m periodi). Per esempio, se m=12, il singolo periodo è uguale ad un mese.

Si definisce durata residua di vita abbreviata alla frazione di anno (m)K_x = (T_x). Se (m)K_x = k allora significa che la morte avviene in un istante compreso nell’intervallo [k/m, (k+1)/m]. Ora procediamo, considerando proprio il caso in cui la somma assicurata viene pagata alla fine del mese in cui avviene il decesso (poiché stiamo ragionando su intervalli di un mese allora abbiamo m=12). La prestazione (unitaria) è pagata al tempo (K_x⁽¹²⁾ + 1) / 12, per cui il valore attuale della prestazione è dato da: Y = v^(k+1)/12.

Distinguiamo nuovamente le polizze a vita intera da quelle temporanee:

• Caso vita intera:
  • Caso non differito (m-thly payable whole life insurance): vista la formula per il calcolo del valore attuale, possiamo concludere che questo è pari a: v^1/12 se la testa muore prima di un mese (con probabilità q_x/12⁰); v^2/12 se la testa muore dopo un mese e prima di due mesi (con probabilità q_x/12¹); v^3/12 se la testa muore dopo due mesi e prima di tre mesi (con probabilità q_x/12²); e così via… Per cui si ottiene il valore attuale attuariale come segue: A_x^(m) = E(Y) = ∑_k=0^+∞ v^(k+1)/m · q_x/m^k.
  • Caso differito (m-thly payable u-year deferred whole life insurance): si calcola il valore attuale attuariale come segue: A_u/x^(m) = E(Y) = ∑_{k=u m}^+∞ v^(k+1)/m · q_x/m^k.

Come sempre, la polizza differita è rappresentabile come differenza tra polizze temporanee: A_u/x^(m) = A_x^(m) − A_x/u^(m).

• Caso temporaneo:
  • Caso non differito (m-thly payable n-year term life insurance): il valore attuale attuariale è dato da: A_x/n^(m) = ∑_k=0^mn−1 v^(k+1)/m · q_x/m^k; esprimibile anche con notazioni alternative o in notazione anglosassone A_{x: n|}^(m).
  • Caso differito (m-thly payable u-year deferred n-year term life insurance): seguendo l’impostazione usata nei casi precedenti, il valore attuale attuariale è: A_{u/n x}^(m) = ∑_k=um^u+mn−1 v^(k+1)/m · q_x/m^k; o in notazione anglosassone (m) A_{x: n|}.

Espresso come differenza di polizze temporanee è dato da: A_{u/n x}^(m) = A_x/n+u^(m) − A_x/u^(m).

1.5: Polizze miste

Vi sono numerose tipologie di polizze miste. Vediamone alcune qui di seguito.

• Polizza mista semplice (Caso continuo), (endowment insurance): tra n anni, se l’assicurato è in vita, viene pagata una somma (unitaria nel nostro caso). Inoltre, se l’assicurato muore entro i prossimi n anni, viene pagata una somma (unitaria) alla data di morte (immediatamente quindi). Ci sono quindi due prestazioni:
  • Una di capitale differito di n anni.
  • Una di caso morte temporanea continua per n anni.

Il valore attuale attuariale si ottiene come segue: Ā_{x: n|} = E_xⁿ + Ā_{n x}, dato che è la composizione di una polizza di capitale differito e di una caso morte temporanea continua. Vi è anche la notazione alternativa: Ā_{x, n̄|}. Quella anglosassone è identica.

Possiamo comunque riscrivere il secondo membro in notazione anglosassone: Ā_{x: n|} = Ā_{x: n|}¹ + Ā_{x: n̄|}¹.

• Polizza mista semplice (Caso discreto), (discrete endowment insurance): tra n anni, se l’assicurato è in vita, viene pagata una somma (unitaria nel nostro caso). Inoltre, se l’assicurato muore entro i prossimi n anni, viene pagata una somma (unitaria) alla fine dell’anno di morte. Ci sono quindi due prestazioni:
  • Una di capitale differito di n anni.
  • Una di caso morte temporanea discreta per n anni.

Il valore attuale attuariale per questo tipo di polizza è: A_{x: n|} = E_xⁿ + A_{n x}, dato che è la composizione di una polizza di capitale differito e di una caso morte temporanea. Vi è anche notazione alternativa (la notazione anglosassone del primo membro è identica): A_{x, n̄|}. Possiamo comunque riscrivere il secondo membro in notazione anglosassone, ottenendo: A_{x: n|} = A_{x: n|}¹ + A_{x: n̄|}¹.

• Polizza mista combinata: prevedono il pagamento di un capitale (unitario nel nostro caso) in caso di morte, e un capitale pari a 1+k in caso di sopravvivenza (con k>0), tra n anni.

Il valore attuale attuariale è dato da: U_{x: n|} = A_{n x}¹ +(1+k) · E_xⁿ; o in notazione anglosassone U_{x: n̄|} = A_{x: n̄|}¹ +(1+k) · A_{x: n|}¹. Essenzialmente, quindi, questa polizza è identica a quella mista semplice in caso discreto, se non per il fatto che il capitale pagato in caso di sopravvivenza viene moltiplicato per (1+k).

• Polizza mista a capitale raddoppiato: prevede il pagamento di un capitale raddoppiato in caso di morte e un capitale (unitario nel nostro caso) in caso di sopravvivenza, tra n anni.

Il valore attuale attuariale è: U_{x: n|} = 2 · A_{n x}¹ + E_xⁿ; o in notazione anglosassone U_{x: n̄|} = 2 · A_{x: n̄|}¹ + A_{x: n|}¹.

Si può dimostrare che (vedi sezione dimostrazioni): A_x/n ≤ A_x ≤ A_{x: n̄|}.

1.6: Polizze a termine fisso

Prevedono il pagamento di un capitale (unitario nel nostro caso) tra n anni sia in caso di morte che in caso di vita. Dato che l’assicuratore al tempo n deve comunque pagare la prestazione, questa non ha carattere di ale