Tecnica delle costruzioni II - Piastre

Piastreripasso trave SdC

Un solido che si ottiene muovendo una figura piana nello spazio, mantenendosi piana e mantenendosi ortogonale alla traiettoria baricentrica.

Ipotesi di Eulero-Bernoulli

La trave, sotto l'effetto delle azioni esterne, si deforma, ma la sua sezione trasversale resta e trasla mantenendosi piana e ortogonale alla deformata della linea d'asse.

Equazioni indefinite di equilibrio

In SdC avevamo cercato il modo di determinare σ e ε conoscendo solo le azioni esterne.

1. Equazioni indefinite di equilibrio

∂σ_xx/∂x + ∂τ_xy/∂y + ∂τ_xz/∂z + F_x = 0

∂τ_yx/∂x + ∂σ_yy/∂y + ∂τ_yz/∂z + F_y = 0

∂τ_zx/∂x + ∂τ_zy/∂y + ∂σ_zz/∂z + F_z = 0

Equazioni di congruenza (Th. di Cauchy)

6 equazioni in 3 incognite (x, y, e) in generale il sistema è imposto, a meno che le deformazioni non siano assegnate sul corpo chietico.

Equazioni legame costitutivo

6 equazioni, 0 incognite. Abbiamo quindi 15 equazioni in 15 incognite. Il teorema di Kirchhoff assicura che se il legame è elastico lineare la soluzione è unica.

Piastreripasso travi SdC

Crea un solido che si ottiene muovendo una figura piana nello spazio, mantenendosi piana e mantenendosi ortogonale alla traiettoria baricentrica.

Ipotesi di Eulero-Bernoulli

La trave sotto l'effetto delle azioni esterne, si deforma, ma la sua sezione trasversale resta e trasla mantenendosi piana e ortogonale alla derivata della linea d'asse.

In SdC avevamo cercato il modo di determinare σ e ε conoscendo solo le azioni esterne.

1. Equazioni indefinite di equilibrio

¾∂σ_xx/∂x + ∂τ_xy/∂y + ∂τ_xz/∂z + F_x = 0

¾∂τ_yx/∂x + ∂σ_yy/∂y + ∂τ_yz/∂z + F_y = 0

¾∂τ_zx/∂x + ∂τ_zy/∂y + ∂σ_zz/∂z + F_z = 0

3 equazioni, 6 incognite σ sforzi τ simmetrici

2. Equazioni di congruenza (Th. di Cauchy)

Componenti del tensore di deformazione derivativi dalle derivate prime dello spostamento vettore (9 derivati) controidee di incompatibilità deformativa sono 6 (+ 3 fronte).

1/2 (∂u_x/∂y+∂u_y/∂y)

1/2 (∂u_x/∂z+∂u_z/∂z)

1/2 (∂u_y/∂z+∂u_z/∂y)

6 equazioni in 9 incognite (3u, 6ε). In generale il sistema è impossibile, a meno che le deformazioni non siano asserragliate ad un centro critico.

3. Equazioni legame costitutivo

Sintrodurre il SLRP...lo per fare altrettanto σ scritto di 6 componenti della deformazione ε in funzione delle stesse 6 equazioni, 6 incognite.

Abbiamo quindi 15 equazioni in 15 incognite. Il teorema di Kirchhoff assicura che se il legame è elastico lineare la soluzione è unica.

Imponendo le ipotesi di Eulero Bernoulli

Si scrivono le soluzioni per l'elemento trave. Ma se mi interessa suddividere s-E di altri elementi:

• Hp: Deformabilità trasversale al piano medio trascurabile
• Hp: Piccoli spostamenti → si trascura ½

Analisi delle componenti di spostamento

Analizziamo ora le 3 componenti dello spostamento di un generico punto P della piastra sottoposta ad una azione generica:

• (x,y) : Spostamento lungo x (non è visibile nel disegno)
• (x,y) : Spostamento lungo y (non è visibile nel disegno)
• (x,y) : Spostamento lungo z
• (x,y) : Rotazione nel piano yz (non visibile nel disegno)

Cambiamo traslazioni → S_x = u(x;y) – _x(x;y) · z

S_y = v(x;y) – _y(x;y) · z

S_z = w(x;y)

Teorema di Cauchy

Applicando ora le equazioni di congruenza posso determinare lo stato di deformazione:

Termini diagonali

E_xx = ∂u/∂x - z ∂²ψ/∂x² = η_x + z χ_x

E_yy = ∂v/∂y - z ∂²ψ/∂y² = η_y + z χ_y

E_zz = ∂w/∂z (abbiamo detto che lo spessore va e' deformabile)

Termini simmetrici

D_xy = ∂5x/∂y = ∂5y/∂x = (∂u/∂y + ∂v/∂x - z ∂²ψ/∂x∂y) = D_m + z χ_xy

D_yz = ∂5y/∂z = ∂5z/∂y = (∂v/∂y - ∂w/∂x - φ) = /_y