Taccuino di fondamenti ed applicazioni di geometria descrittiva

Geometria differenziale

Nasce nello spazio, studia le forme analizzando le loro proprietà.

Tangente

La tangente è quella retta che approssima meglio la curva.

Tre punti determinano una circonferenza. Se P e Q si avvicinano a P, la circonferenza descrive al meglio la curva in ogni suo punto.

Cerchio osculatore

Quando si hanno curve che tendono a rette, il cerchio osculatore cresce, si enfatizzano se sono curve strette, cambia la parte di appartenenza se si ha un punto di flesso.

Piano osculatore

Piano di appartenenza dei cerchi osculatori. Il raggio del cerchio osculatore è perpendicolare alla tangente.

Curvatura

K, si misura come l'inverso del raggio del cerchio osculatore.

h = 1 / a

Geometria differenziale

Nasce nello spazio, studia le forme analizzando le loro proprietà.

Tangente

Disegno delle corde. La tangente è quella retta che approssima meglio la curva.

Tre punti determinano una circonferenza. Se r e s si avvicinano a P, la circonferenza descrive al meglio la curva in ogni suo punto.

Cerchio osculatore

Quando si hanno curve che tendono a rette, il cerchio cresce, si rimpicciolisce se ci sono curve strette, cambia la parte di appartenenza, se si ha un punto di flesso.

Piano osculatore

Piano di appartenenza dei cerchi osculatori. Il raggio del cerchio osculatore è perpendicolare alla tangente.

Curvatura

K, si misura come l'inverso del raggio del cerchio osculatore.

k = ¹/_r

Più la curva è pronunciata, più il raggio si riduce e la curvatura aumenta.

Nei punti di flesso, il raggio diventa infinito e la curvatura è pari a 0 come nelle rette.

Curvatura

Quanto una linea si discosta dall'andamento curvilineo.

Grafico di curvatura

Più è alto, maggiore è la curvatura, il punto in cui interseca la curva è il punto di flesso.

Il grafico di curvatura di un cerchio, è un cerchio esterno a quello iniziale a raggio costante perché il valore di curvatura è lo stesso per ogni punto della curva.

Elica cilindrica

Deriva dalla rototraslazione di un punto. La pendenza è costante, ossia le tangenti sono parallele. Le curve che hanno tutte le tangenti parallele si dicono lossodromiche, cioè le curve che tagliano le meridiane di un cilindro dello stesso angolo.

Piano normale

Individuato dalla normale e dalla binormale.

Piano rettificante

Individuato dalla tangente e dalla binormale.

Piano osculatore

Individuato dalla tangente e dalla normale, contiene la circonferenza osculatrice.

Normale, binormale e tangente si dicono terna di Frenet.

Torsione

Indica quanto la curva devia dal piano osculatore. Nelle linee piane non c'è.

Curvatura e torsione definiscono la qualità della curva.

Continuità

Garantisce la transizione tra due linee.

• Discontinuità
• Continuità di posizione G0
• Continuità di tangenza G1
• Continuità di curvatura G2

E le due curve hanno lo stesso cerchio osculatore.

Curvatura superficiale

La curvatura gaussiana delle superfici si misura:

Se accadono nello stesso semimestre, la curvatura gaussiana è positiva.

La curva gaussiana vale 0 se una delle due curve principali è una retta.

I punti a curvatura gaussiana positiva si chiamano punti ellittici.

I punti a curvatura gaussiana negativa si chiamano punti iperbolici.

I punti a curvatura gaussiana nulla, si chiamano punti parabolici.

Le superfici a curvatura gaussiana nulla, sono dette superfici sviluppabili.

Rappresentazione -> visualizzazione -> pittoricale rapidamente.

Mapping -> definizione univoca tra spazio parametrico e geometrico.

Curve isoparametriche -> curve che descrivono l’andamento parametrico di u e v.

Tolleranza -> distanza minima al di sotto della quale due entità sono ritenute coincidenti.

Linee curve

Linee luogo geometrico, grafica, tracciamento continuo.

Ripetibili

Metodo vettiale, equazioni securizzate.

Ripetibili

Tracciamento manuale.

Non ripetibili

Equazioni NURBS.

Ripetibili

Curva di Bezier

I punti di controllo sono sempre esterni. In B4 e in B4, la curva è tangente.

Curva B-spline

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