Syllabus completo Analisi Matematica 1

Syllabus 2018-2019

Insiemi limitati ed estremi

L è un maggiorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X, x ≤ L.

L è un minorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X, x ≥ L.

M ∈ R è un massimo dell'insieme X ⊆ R se M ∈ X e M è maggiorante di x.

m ∈ R è un minimo dell'insieme X ⊆ R se m ∈ X e m è minorante di x.

S ∈ R è un estremo superiore dell'insieme X ⊆ R se è il minimo dei maggioranti.

s ∈ R è un estremo inferiore dell'insieme X ⊆ R se è il massimo dei minoranti.

Funzioni

Data f: A → B con x ∈ A e y ∈ B:

Immf: insieme delle possibili uscite corrispondenti agli elementi del dominio {y ∈ Y | ∃ x ∈ X : y = f(x)}

Contrimmagine f^-1(y) = insieme degli elementi del dominio mandati in y dalla funzione {x ∈ X | ∃ f(x) ∈ B}

Caratterizzazione dell'estremo superiore (supX)

Dato un insieme X, limitato superiormente s = supX ∈ R ⇔

• a) ∀ x ∈ X, x ≤ S (cioè S è un maggiore)
• b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x > s - ε

Caratterizzazione dell'estremo inferiore (infX)

Dato un insieme X, limitato inferiormente s = infX ∈ R ⇔

• a) ∀ x ∈ X, x ≥ S (cioè s è un minorante)
• b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x < s + ε

Principio di induzione

Se per ogni n ∈ N, con n > n_o, vale la proprietà p(n), allora è vera anche p(n+1).

Es: disuguaglianza di Bernoulli:

th: (1+x)ⁿ, ≥ 1+n x ∀ x > -1, n ≥ 0

• Per n=0: (1+x)⁰ = 1 ≥ 1 + 0 = > 1, vero
• Per n=1: (1+x)¹ = 1 + x ≥ 1 + x, 1 + x, vero
• Passo induttivo: supponiamo che tesi sia vera per n e proviamo lo per (n+1) (1+x)ⁿ⁺¹ = (1+x) (1+x)ⁿ = (1+x) (1+n x) = 1 + (n+1) x + _with

Funzione iniettiva e funzione inversa

Una funzione f(x) è iniettiva se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio.

Una funzione inversa f^-1(x) è la funzione che associa ad ogni elemento del codominio il corrispondente elemento del dominio di f(x).

Oppure: f^-1(x) = g(x) ∈ B −> ∈ D⊆ Y B ∈ B ∃ f(g(x))=b  (g &compfn; f) (x) = d_a ∈ a ∀ g. f(g(x)) = d

Dato il grafico di una funzione invertibile il grafico della sua inversa si ottiene con una riflessione rispetto alla bisettrice del I° e II° quadrante (la retta y = x).

Syllabus 2018-2019

Insiemi limitati ed estremi

L ∈ R è un maggiorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X x ≤ L.

L ∈ R è un minorante dell'insieme X se ∀ x ∈ X, x ≥ L.

M ∈ R è un massimo dell'insieme X ⊆ R se M ∈ X e M è maggiorante di x.

m ∈ R è un minimo dell'insieme X ⊆ R se m ∈ X e m è minorante di x.

S ∈ R è un estremo superiore dell'insieme X ⊆ R se e solo se è il minimo dei maggioranti.

s ∈ R è un estremo inferiore dell'insieme X ⊆ R se e solo il massimo dei minoranti.

Funzioni

Data f: A ⟶ B con x ∈ A, y ∈ B:

Imf = insieme delle possibili uscite corrispondenti agli elementi del dominio {y ∈ Y | ∃ x ∈ X | y = f(x)}

controimmagine f^-1(y) = insieme degli elementi del dominio mandati in y dalla funzione {x ∈ X | ∃ f(x) ∈ B}

Caratterizzazione dell'estremo superiore (Sup X)

Dato un insieme X, limitato superiormente s = Sup X ∈ R ⇔

• a) ∀ x ∈ X x ≤ S (cioè S è un maggiorante)
• b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x > s - ε

Caratterizzazione dell'estremo inferiore (Inf X)

Dato un insieme X, limitato inferiormente s = Inf X ∈ R ⇔

• a) ∀ x ∈ X, x ≥ S (S è un minorante)
• b) ∀ ε > 0 ∃ x ∈ X : x ≤ s + ε

Principio di induzione

Se per ogni n ∈ ℕ, con n >= n₀, vale la proprietà p(n), allora è vera anche p(n+1).

Es.: diseguaglianza di Bernoulli:

th: (1 + x)ⁿ > 1 + n x ∀ x > -1, n ≥ 0

• Per n = 0: (1 + x)⁰ = 1 > 1, x > -1 → 1 > 1, vero
• Per n = 1: (1 + x)¹ = 1 + x → 1 + x, vero
• Passo induttivo: supponiamo che tesi sia vera per n e proviamola per (n+1) (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)(1 + x)ⁿ = (1 + x)(1 + nx) = 1 + (n + 1)x + x² → sempre > 0

Una funzione f(x) si dice iniettiva se ad elemen