Sviluppo demografico e fonti energetiche

Sviluppo demografico e fonti energetiche

Autore: Antonello Urso - 12/08/10

Pianetagalileo - (ultimo aggiornamento 23/08/10) - UN

A. Urso - Sviluppo demografico e fonti energetiche

Introduzione

Lo sviluppo demografico di una popolazione biologica che cresce in funzione del tempo viene provocata da una o più fonti energetiche note della quale essa si nutre. Supporremo che tali fonti siano sparse in modo omogeneo e che la loro posizione possa essere, secondo i casi analizzati, palese o nascosta alla “vista”. Supporremo inoltre di essere in presenza di una popolazione biologica omogenea composta da una singola specie che si sviluppa in un ambiente privo di limiti ambientali che non siano quelli propri dei modelli studiati.

Nel ben noto modello di Lotka-Volterra si considera l’interazione fra due popolazioni: una di prede (x) e una di predatori (y). Le due popolazioni, se si considerano indipendentemente l’una dall’altra, sono ipotizzate maltusiane: cioè, le prede, da sole (y = 0), aumenterebbero nel tempo in modo esponenziale mentre i predatori senza prede da cacciare (x = 0) si estinguerebbero sempre esponenzialmente. Se invece le prede e i predatori condividono lo stesso ambiente avvengono degli incontri proporzionali al prodotto xy che porterà all’inizio ad una diminuzione per la popolazione di prede, che vengono cacciate, e un aumento del numero dei predatori, che si alimentano e si riproducono.

Quindi avremo il seguente sistema di equazioni differenziali:

 dx = −

a₁ x − b₁ xy

 dt





 dy = −

a₂ y + b₂ xy

 dt



dove le costanti a₁, a₂, b₁, b₂ sono tutte positive. Prendendo spunto da questo esempio cercheremo di costruirci un diverso sistema di equazioni in modo che stavolta le “prede” non possano riprodursi (a₁ = 0); questo è il caso di una popolazione che abita in un territorio all’inizio ricco di risorse in numero x sparse in modo omogeneo e sufficientemente nascoste da dover costringere i “predatori” in numero y a ricercarle. [1] [2] [3] [4]

Primo modello (risorse nascoste)

Per approntare tale modello matematico ci affideremo alle seguenti ipotesi:

• 1. La popolazione senza risorse (x = 0) è destinata a decrescere esponenzialmente.
• 2. La quantità di risorse che viene “depredata” nell’unità di tempo è dovuta alla probabilità proporzionale a xy di trovare le risorse sparse nel territorio.
• 3. L’incremento della popolazione nell’unità di tempo è favorito dalla probabilità proporzionale a xy di trovare le risorse sparse nel territorio.