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Serie di potenze reali

Sia I l'intervallo costituito da tutti e soli gli x ∈ R per cui converge la serie di potenze reali

∑n=1+∞ (-1)n+1/(9nn2)(x+2)2n.

Quanto vale sup I + 2 inf I?

Soluzione

Per x ≠ -2 si ha

lim n→+∞ 1/[9n+1(n+1)2] |x+2|2n+2 9nn2/|x+2|2n = lim n→+∞ n2/[9(n2+2n+1)] |x+2|2 = |x+2|2/9.

Dunque la serie data converge assolutamente se |x+2|2 < 9, ovvero se x ∈ (-5, 1), e non converge se x > 1 o x < -5.

Per x = -5 e x = 1, la serie converge assolutamente, poiché si riduce a una serie a termini di valore assoluto 1/n2. Pertanto I = [-5, 1] e sup I + 2 inf I = 1 + 2(-5) = -9.

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Serie: [math]{\sum_{{{n}={1}}}^{{+\infty}}}\frac{{{\left(-{1}\right)}^{{{n}+{1}}}}}{{{9}^{n}{n}^{2}}}{\left({x}+{2}\right)}^{{{2}{n}}}[/math] Pag. 1
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Sintesi

[math]{\sum_{{{n}={1}}}^{{+\infty}}}\frac{{{\left(-{1}\right)}^{{{n}+{1}}}}}{{{9}^{n}{n}^{2}}}{\left({x}+{2}\right)}^{{{2}{n}}}[/math]

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