Successioni - appunti sulle successioni

Successioni

Definizione

Una successione 2_n è una legge che associa ad ogni n ∈ N un numero reale n ↦ 2_n.

Esempio

• n ≥ 0, 2_n = n²
• n > 0, 2_n = (-1)ⁿ
• n ≥ 1, 2_n = 2^1/n
• n ≥ 0, 2_n = 4

Successione a termini positivi e negativi

2_n si dice:

• Positiva se ∀n ∈ N, 2_n > 0
• Non negativa se ∀n ∈ N, 2_n ≥ 0
• Negativa se ∀n ∈ N, 2_n
• Non negativa se ∀n ∈ N, 2_n ≤ 0

Successione limitata superiormente e inferiormente

2_n si dice:

• Superiormente limitata se ∃m ∈ R t.c. 2_n ≤ m ∀n ∈ N
• Inferiormente limitata se ∃m ∈ R t.c. 2_n ≥ m ∀n ∈ N

Successione monotona crescente o decrescente

2_n si dice:

• Monotona crescente se ∀n ∈ N 2_n ≤ 2_n+1
• Monotona decrescente se ∀n ∈ N 2_n ≥ 2_n+1

Esempio

2_n = n / (7+n²), n ∈ N.

2_n è monotona decrescente.

Successioni

Definizione

Una successione 2n è una legge che associa ad ogni n ∈ N un numero reale n → 2n.

Esempi

• n ≥ 0 M = n² 0, 1, 4, 9, 16...
• n ≥ 0 M = (-1)ⁿ 1, -1, 1, -1...
• n ≥ 1 M = 2^1/n 2, √2, 3√2, 4√2...
• n ≥ 0 M = 4 4, 4, 4, 4... (successione costante)

Successione a termini positivi-negativi

2n si dice:

• Positiva se ∀n ∈ N 2n > 0
• Non negativa se ∀n ∈ N 2n ≥ 0
• Negativa se ∀n ∈ N 2n
• Non negativa se ∀n ∈ N 2n ≤ 0

Successione limitata superiormente e inferiormente

2n si dice:

• Superiormente limitata se ∃m ∈ IR t.c. 2n ≤ m ∀n ∈ N
• Inferiormente limitata se ∃m ∈ IR t.c. 2n ≥ m ∀n ∈ N

Successione monotona crescente o decrescente

2n si dice:

• Monotona crescente se ∀n ∈ N 2n ≤ 2n + 1
• Monotona decrescente se ∀n ∈ N 2n ≥ 2n + 1

Esempio

2M = {M/n²+n²} n ∈ N.

2n è non decrescente perché M/n²+2n² ≥ 0.

2n è monotona decrescente 2n+1 M/n+(n²)+n² / (n+M)² (n+M+2)² < (n+(n+M)²){2(n+M)²}{7+n}(M²) ≤ M² + n² - 3 n² ≥ 4 n² - M² + 7 n + M - n ≤ 0{3n - n}² ≥ 0 ⇉ ∀n > 3.

Proprietà definitivamente valida

Data una successione \( \{a_n\} \) Sia P una proprietà \( \exists n_0 \) tale che \( \forall n>n_0 \).

Successione convergente

Una successione \( \{a_n\} \) si dice convergente se esiste un numero \( l \in \mathbb{R} \) tale che: \( \forall \varepsilon >0 \, |a_n-l|0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall n \geq n_0 \, |a_n-l|0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \) tale che \( \forall n \geq n_0 \, \left| \frac{n-1}{n} -1 \right| \)

\( \left| \frac{n-1}{n} -1 \right| \)

\( n > \frac{1}{\varepsilon} \), scelgo \( n_0 = \frac{1}{\varepsilon} \).

Successione divergente

Una successione \( \{a_n\} \) si dice divergente a \( + \infty \) se \( \forall M >0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \):

\( \forall n \geq M \, a_n > M \) e si scrive \( \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \).

Una successione \( \{a_n\} \) si dice divergente a \( -\infty \) se \( \forall M \)

\( \forall n \geq M \, a_n e si scrive \( \lim_{n \to +\infty} a_n = -\infty \).

Successioni irregolari

Una successione \( \{a_n\} \) si dice irregolare se non è né convergente né divergente, per esse l'operazione di limite non è definita, ovvero il limite non esiste.

\( a_n = (-1)^n \)

Teorema di unicità del limite

Sia {a_n} una successione convergente lim_n→+∞ a_n = l tale numero l è unico.

Dimostrazione

lim_n→+∞ a_n = l : ∀ε>0 ∃n₀∈N ∀n≥n₀ |a_n-l|<ε lim_n→+∞ a_n = m : ∀ε>0 ∃m₀∈N ∀n≥m₀ |a_n-m|<ε l≠m |l-m|=| (l-a_n) + (a_n-m) | ≤ |l-a_n| + |a_n-m| ≤ε verso ∀n≥max(n₀, m₀).

Verso ∀ε>0 ho dimostrato: |l-m| ≤ 2ε quindi l=m Assurdo, perché l≠m.

Una successione convergente è limitata

Sia {a_n} una successione convergente, allora è limitata.

N.B. non vale il contrario una successione limitata non è per forza convergente.

Dimostrazione

lim a_n = l : ∀ε>0 ∃n₀∈N t.c. ∀n≥n₀ |a_n-l|<ε Scelgo ε = 1 : |a_n-l| < 1 teri a_n è limitata : ∀n∈N ∃M ≤ M|a_n| = |a_n-l+l| ≤ |a_n-l| + |l| ≤ 1 + |l| Scelgo M = max {1+|l|, |a₁|,|a₂|...,|a_n-1|} ⇒ allora ∀n∈N |a_n| ≤ M.

Teorema di esistenza del limite per successioni monotone

Una successione {a_m} crescente ammette limite l = sup{a_m} tale limite è finito se {a_m} è limitata superiormente; altrimenti l è posto uguale a +∞.

Dimostrazione

{a_m} crescente: ∀m∈ℕ a_m ≤ a_m+1.

{a_m} superiormente limitata: ∃U∈ℝ t.c. a_m ≤ U, ∀m{a_m} ⊆ ℝ ammette sup {a_m}.

Ipotesi: lim a_m = l esiste ed è finito.

Tesi: l = sup{a_m} => lim_m→+∞ a_m = sup{a_m}→∀ε>0 ∃m₀∈ℕ t.c. |a_m-sup{a_m}| a_m-sup{a_m}≤0|a_m-sup{a_m}| = sup(a)_m - a_m sup(a)_n-ε = max{a_m,a_m+1...}=> sup(a)_n-ε non è un maggiorante.

∃m₀∈ℕ ∀m>m₀ a_m > sup{a_m} - ε e {a_m} crescente: ∀m>m₀ a_m≥a_m0.

∃m₀∈ℕ ∀m>m₀ a_m => a_{m0 > sup{am} - ε.}

Teorema del confronto per successioni

Siano a_m, b_m, c_m successioni tali che: lim_m→+∞ a_m = l = lim_m→+∞ c_m.

Se esiste m₀∈ℕ: ∀m>m₀ a_m≤b_m≤c_m allora b_m converge lim_m→+∞ b_m = l.

Dimostrazione

lim_m→+∞ a_m = l = lim_m→+∞ c_m => ∀ε>0 ∃m₀∈ℕ: ∀m≥m₀ |a_m-l|0 ∃m₂∈ℕ : ∀m≥m₂ |c_m-l| ∀n≥max{m₀,m₁,m₂} => l-ε≤a_m≤b_m≤c_m≤l+ε => l-ε≤b_m≤l+ε ∀n≥max{m₀,m₁,m₂} => ^limb_m=l.

Teorema di permanenza del segno

Sia {a_n} una successione positiva o nulla ∀n∈ℕ se {a_n} è convergente: lim a_n = l, allora l ≥ 0.

Dimostrazione

lim a_n = l ∀ε > 0, ∃n₀ ∈ ℕ. ∀n ≥ n₀. |a_n - l| ovvero: -ε n - l n ∃n₀ ∀n ≥ n₀ . 0 ≤ a_n ≤ l + ε → 0 ≤ l + ε ∀ε > 0 → l ≥ 0.

Per assurdo: se l non vale più che ∀ε > 0 → l + ε > 0.

Quindi dovrò per forza avere un limite positivo (l ≥ 0).

Algebra dei limiti

Siano {a_n} e {b_n} successioni convergenti lim a_n = l lim b_n = m ⇒ lim (a_n + b_n) = l + m lim (a_n - b_n) = l - m lim (a_n b_n) = lm lim (a_n / b_n) = l / m con b_n, m ≠ 0 lim (a_n/n) = l con s_n > 0.

Siano {a_n} e {b_n} successioni tali che: lim a_n = l lim b_n = + ∞ ⇒ lim (a_n + b_n) = + ∞ lim (a_n - b_n) = - ∞ lim (b_n / a_n) = { + ∞ se l > 0∞ se l > 0- ∞ se l lim (a_n / b_n) = 0.

Siano \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\) successioni divergenti:

\(\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \quad \lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty\)

\(\Rightarrow \lim_{n \to +\infty} (a_n - b_n) = +\infty\)

\(\lim_{n \to +\infty} (a_n - b_n) = +\infty\)

\(\lim_{n \to +\infty} (a_n - b_n) = ? \quad \Rightarrow\) \([+\infty - \infty]\)

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = ? \quad \Rightarrow\) \(\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\)

Altre forme di indeterminazione

\(\lim_{n \to +\infty} a_n = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} b_n = 0\)

• Somma: \(0 + 0 = 0\)
• Prodotto: \(0 \cdot 0 = 0\)

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = ? \quad \left[\frac{0}{0}\right] (E.I.)\)

Esiste \(c_n = 1, \quad \text{t.c. } \lim_{n \to +\infty} c_n = +\infty\) allora \(\lim_{n \to +\infty} a_n = \frac{1}{c_n}\), \(\lim_{n \to +\infty} b_n = 1\).

\(\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{1}{1/c_n} = \lim_{n \to +\infty} c_n/a_n = \left[\frac{\infty}{\infty}\right]\)

\(\lim_{n \to +\infty} a_n = 1, \quad \lim_{n \to +\infty} b_n = \infty\)

\(\Rightarrow \lim_{n \to +\infty} (c_n)^{b_n} = \left[1^{\infty}\right]\)

\(\lim_{n \to +\infty} a_n = 0, \quad \lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{a_n} = \infty, \quad \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{b_n} = 0\)

\(\Rightarrow \lim_{n \to +\infty} (a_n - b_n) = \left[0 - \infty\right] = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{1/b_n} = \left[\frac{0}{\infty}\right]\)

\(\Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = \left[\frac{0}{\infty}\right] = \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{1/b_n} = 0 \cdot 0 = 0\)

Esempi di risoluzione

_n→+∞ (n⁵ + n⁴) / (n⁵ + 3n⁷) = [∞/∞]

Si raccoglie il p.o di ordine superiore :

_n→+∞ n^7/3 (1 + ¹/_n²) / n^7/3 (3 + ¹/_n³)= _n→+∞ 1 / n³ = -∞.

_n→+∞ √n + eⁿ / √n + n^-1 = _n→+∞ √n / √n = [∞/∞]= _n→+∞ n^1/2 / n^1/2 = _n→+∞ 1 / n^1/2-1/2 = _n→+∞ 1 / n⁰⁺¹ = ¹/_∞ = 0.

Confronti e stime asintotiche

Date a_n e b_n successioni:

a_n e b_n sono asintotiche (a_n ≍ b_n) se _n→+∞ ^a_n/_bn = 1.

Osservo che:

se a_n ≶ b_n ⇒ a_n ≍ b_n , b_n ≍ a_n.

_n→+∞ ^a_n/_an = 1 ⇒ _n→+∞ ^b_n/_an + _n→+∞ ¹/_an = 1.

se a∧b∧c ⇒ a∧b∧c.

Definizioni di infinita e infinitesima

a_n è infinitesimo se _n→+∞ a_n=0.

Infinita se _n→+∞ a_n=±∞.

Ordini di infinito e infinitesimo

Date an e bn successioni infinite:

lim (an/bn) n-> +∞ =

• 0   bn è un infinito di ordine superiore ad an
• k≠0   an e bn sono infiniti dello stesso ordine
• ∞   an è un infinito di ordine superiore a bn
• Non esiste   an e bn non sono confrontabili

Date an e bn infinitesime:

lim (an/bn) n-> +∞ =

• 0   an è un infinitesimo di ordine superiore a bn
• k≠0   an e bn infinitesimi dello stesso ordine
• ∞   bn infinitesimo di ordine superiore a an
• Non esiste   an e bn non sono confrontabili

Criterio del rapporto

Sia an successione   an>0 ∀n se esiste il lim (an+1/an) n-> +∞ allora:

• Se <1 an converge a 0
• =1 an diverge a +∞
• >1 il criterio fallisce

Gerarchia degli infiniti

• lim n-> +∞ [(log_a(n))^c/n^β] =0
• lim n-> +∞ [n^α/e^γn] =0
• lim n-> +∞ [e^βn/n^{! /n}] =0
• lim n-> +∞ [n^!/nn] =0

Dimostrazione del limite fondamentale

a_n = (1 + ¹⁄_m²)^m m > 1.

a_n è una successione monotona crescente.

Dimostrazione

Devo mostrare che a_n > a_n-1 ∀ n ≥ 2.

(se a_n > a_n-1, allora ^a_n⁄_an-1 ≥ 1)

⇓^a_n⁄_an-1 ≥ 1

⇓(^m+1⁄_m)^m = (^m+1⁄_m)^m • (^m⁄_a-1) = (^m+1⁄_a)^m • ^m⁄_a-1 == (^m+1⁄_m)^m = (^m+1⁄_m)^m • (^m⁄_a-1) ==(^m±q⁄_a-1) (^m⁄_a) (^m⁄_a-1) ==(^m±q⁄_a-1) • (^m⁄_m) (^m⁄_a-1) == (^m+q⁄_a-1²) (^m⁄_m) (^m⁄_a-1) == (^{1 -} ⁄_m²)(^m⁄_a-1) ⇑prendo x = ^-4⁄_m² : (¹⁄_a) ^m > lnX.

Ho dimostrato che ^a_n⁄_an-1 ≥ 1.