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Esame di Analisi matematica 1

Trovare i valori dei parametri nell’equazione di

una funzione, partendo dal suo grafico.

Svolgimento = − ;0 = 1; 0

La funzione ha due intersezioni con l’asse delle ascisse nei punti

Usiamo queste due informazioni per trovare e

a b

1

ln − − =0

3 3

ln + =0

ln − =0

9 3

ln + =0

ln − = ln +

9 3

ln + = 0

− = +

9 3

ln + = 0

−3 −3 =9 +9 8 = −12

= + → →

9 ln + = 0 ln + = 0

ln + = 0

3 3

=− =− a=3

2 2

→" →#

" 3 = −2

ln − + =0 − =1

2 2 % & = ln 3& − 2& DANIELA PERROTTA 2

La funzione ha asintoti? Scrivine le equazioni.

a.

Si la funzione ha due asintoti verticali. Per scrivere le equazioni determiniamo il dominio:

3& − 2& > 0

& 3& − 2 > 0

2 2

& <0 ∨& > & >

3 3

2

* = −∞; 0 ∪ : +∞

3

Calcolando i limiti:

lim ln 3& − 2& = ln 0 = −∞ & = 0

3

0→1 2  è asintoto verticale

lim ln 3& − 2& = ln 0 = −∞ & =

3

6

4

0→  è asintoto verticale

5

Scrivi le equazioni delle tangenti in A e B.

b. 7 & ; 8 % &

1 1

Scriviamo l’equazione della retta tangente in punto al grafico di :

8 − % & = %′ & & − &

1 1 1

Calcoliamo la derivata prima:

6& − 2

% & =

: 3& − 2&

= − ;0 

Nel punto −4

% − = 0 % − =

:

e

Sostituendo:

8 = −4 & + 8 = −4& − =

= 1; 0 

Nel punto = 4

% & = 0 % &

:

1 1

e

8 = 4 & − 1 8 = 4& − 4

 DANIELA PERROTTA 3

DANIELA PERROTTA 4

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Sintesi

Studio di funzione con parametri

Quando il grafico di una funzione è noto, da esso si possono trarre molte informazioni:

  • Dominio
  • Codominio
  • Simmetrie
  • Segno
  • Intersezioni con gli assi
  • Comportamento della funzione ai limiti del dominio (presenza di asintoti)

Esaminiamo il testo del problema:

Determina i parametri a e b in modo che la funzione

[math]f(x)=ln(ax^2+bx)[/math]
rappresenti il grafico della figura.

  • 1) La funzione ha asintoti? Scrivine le equazioni
  • 2) Scrivi le equazioni delle tangenti in A e in B

Svolgimento

La funzione ha due intersezioni con l’asse delle ascisse nei punti

[math]A=(-\frac{1}{3};0)[/math]
e
[math]B=(1;0)[/math]
.

Usiamo queste due informazioni per trovare a e b.

Imponiamo cioè il passaggio della curva per i due punti e otteniamo due equazioni che messe a sistema ci consentono di trovare i due parametri:

[math]\begin{cases}ln( \frac{a}{9}- \frac{b}{3})=0 \\ln(a+b)=0 \end{cases} [/math]

Risolvendo il sistema otteniamo:

[math] \begin{cases}a=3\\b=-2 \end{cases} [/math]

Ecco la nostra funzione:

[math]f(x)=ln(3x^2-2x)[/math]
.

Proseguiamo rispondendo ai due quesiti:

1) La funzione ha asintoti? Scrivine le equazioni

Sì, la funzione ha due asintoti verticali. Per scrivere le equazioni determiniamo il dominio:

[math]D=(-\infty;0)\cup(\frac{2}{3};+\infty)[/math]
.

Calcolando i limiti troviamo le equazioni dei due asintoti verticali:

[math]x=0[/math]

[math]x=\frac{2}{3}[/math]

2) Scrivi le equazioni delle tangenti in A e in B

Ricordiamo che il coefficiente angolare della retta tangente in un punto, al grafico di f(x), è il valore della derivata prima calcolata nel punto di tangenza. Applicando due volte questa proprietà possiamo scrivere le equazioni delle due tangenti.

Ovvero per il punto A:

[math]y-f(x_A)=f'(x_A)(x-x_A)[/math]

[math]t_A: y=-4x-\frac{4}{3}[/math]

Per il punto B:

[math]y-f(x_B)=f'(x_B)(x-x_B)[/math]

[math]t_B: y=4x-4[/math]

Nell'allegato sono presenti tutti i passaggi algebrici.

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