Storia e fondamenti della matematica

Storia e fondamenti della matematica

Antonio Maida

Teorie matematiche

L’epistemologia (= discorso sulla conoscenza scientifica, o filosofia della scienza) che si prefiggeva lo scopo di stabilire i canoni caratterizzanti la conoscenza scientifica rispetto alla conoscenza in generale era originariamente considerata una disciplina più filosofica che scientifica.

Ha poi assunto sempre di più i connotati di una disciplina scientifica. Temi fondamentali dell’epistemologia matematica, o più in generale dei fondamenti della matematica, concernono la natura, l’organizzazione, la metodologia ed i criteri giustificativi della matematica stessa.

Enti matematici

Sono considerati gli enti oggetto di studio di una qualunque teoria matematica.

Essi sono enti concreti (gli enti linguistici), ed enti astratti (gli insiemi, i numeri, gli enti individui, relazioni funzioni geometrici, ecc.). Gli enti sono poi classificabili in fra individui e di individui in individui. Un insieme di individui è un universo.

In riferimento alla natura degli enti astratti sono rilevanti due punti di vista, e cioè il formalismo in senso stretto che ne nega l’esistenza, ed il contenutismo che viceversa assume tale esistenza.

Per il formalismo il discorso matematico non ha un contenuto poiché verte su se stesso; e dunque la matematica è un linguaggio. Per il contenutismo invece il discorso matematico ha un contenuto non identificabile con gli enti linguistici; e dunque la matematica è una scienza. Il contenutismo si è poi differenziato nel costruttivismo di Leopold Kronecker (1823-1891, Legnica, Polonia).

Secondo cui gli enti astratti sono un atto costitutivo della mente umana, e dunque la matematica è una scienza costitutiva o anche la matematica è una invenzione; e nel platonismo logico di Georg Cantor (1845-1918, San Pietroburgo, Russia) e Gottlob Frege (1848-1925, Wismar, Germania), secondo cui invece gli enti astratti non sono un atto costitutivo della mente umana, e dunque la matematica è una scienza descrittiva o anche la matematica è una scoperta. Ø

In altri termini, il problema è, ad esempio, il confronto fra l’insieme vuoto ed il segno Ø: mentre per il formalismo l’insieme vuoto è solo il segno Ø, laddove per il costruttivismo l’insieme vuoto non è il segno Ø ed è una invenzione dell’uomo, per il platonismo infine l’insieme vuoto non è il segno Ø ed è una scoperta umana.

Le teorie matematiche

Il concetto di teoria matematica ha avuto varie interpretazioni. Si è così passati dalle teorie non assiomatiche (teorie non formali e non assiomatiche), alle teorie semiassiomatiche (teorie non formali ed assiomatiche), ed infine alle teorie assiomatiche (teorie formali, o sistemi formali).

Fino al 1870 circa tutte le teorie matematiche, tranne la geometria di Euclide, erano concepite, in un’ottica platonistica, come teorie non assiomatiche, T=<U,Ver>, cioè coppie di un universo U di enti astratti pensati intuitivamente e di un insieme Ver di enunciati veri descriventi cioè le proprietà di U. Tali teorie erano non formali in quanto i loro enunciati vertevano su di un contenuto, l’universo appunto; ed erano non assiomatiche in quanto il metodo seguito nell’inferire gli enunciati veri era quello semantico o induttivo, che faceva spesso riferimento ad U. Il criterio giustificativo era poi l’evidenza di U.

Così, gli enunciati dell’Aritmetica descrivevano le proprietà dell’universo dei numeri naturali, quelli dell’Analisi descrivevano le proprietà dell’universo dei numeri reali, ecc. teoria

La geometria euclidea era viceversa organizzata semiassiomaticamente. In una teoria semiassiomatica T=<U,Teor>, partendo da un insieme di segni primitivi individuante il linguaggio degli enunciati vertenti su U e da un insieme minimo di assiomi, di enunciati cioè considerati immediatamente veri in U, si definiscono successivamente ulteriori segni, ed applicando intuitivamente le regole della deduzione si deducono ulteriori enunciati veri in U, i teoremi, costituenti l’insieme Teor.

In tale concezione il metodo utilizzato nell’inferire i teoremi è quello sintattico o deduttivo, in base al quale il riferimento ad U è solo iniziale, allorquando si stabiliscono gli assiomi; il criterio giustificativo è quello semantico dell’evidenza dei soli assiomi.

Ancora, mentre nella teorie non assiomatiche il riferimento all’intuizione, o al contenuto, è sempre presente con tutti i problemi che ciò può comportare, nelle teorie semiassiomatiche viceversa tale riferimento è presente, almeno in linea di principio, solo inizialmente allorquando si stabiliscono gli assiomi. Si osservi che una teoria concepita semiassiomaticamente è comunque una teoria non formale, avendo essa un contenuto, l’universo appunto U.

Il passaggio all’assiomatica moderna

Il fascino di GE fece scaturire l’esigenza, non appena si risolse il millenario problema delle parallele, di riformulare semiassiomaticamente le varie teorie non assiomatiche.

Tale processo era fondato sulla convinzione, che sembrava plausibile ma che si rivelò errata nel 1931 col teorema di incompletezza di Kurt Gödel (1906-1978, Brno, Cecoslovacchia), che fosse possibile riorganizzare semiassiomaticamente le varie teorie in modo da aversi Ver=Teor.

Che fosse cioè possibile individuare un numero minimo di assiomi in modo tale che i teoremi da essi inferibili fossero tutti e soli gli enunciati veri nell’universo U che la teoria T pretendeva di descrivere. Tale problema di completezza sintattica degli assiomi fu posto per la prima volta da Hilbert agli inizi del ’900.

Per altri aspetti, l’utilizzo sempre maggiore a livello intuitivo nelle teorie semi assiomatiche di nozioni logiche ed insiemistiche fece scaturire l’altra esigenza di considerare a se stanti e una logica e una teoria degli insiemi.

La logica è una particolarissima teoria. Fra gli enunciati veri di una teoria vi sono quelli la cui verità dipende solo dalla loro struttura interna o schema, e non piuttosto dall’universo che la teoria vuol descrivere.

Essi sono quelli logicamente veri, veri cioè in ogni possibile universo, e lo studio di tali enunciati è appunto la Logica che, organizzata oggi come teoria assiomatica fondata su assiomi logici e regole di dimostrazione, costituisce lo studio del metodo deduttivo stesso.

Coerenza e fondamenti

Nell’ottica delle considerazioni fatte vanno inquadrate la logica di Frege e la teoria degli insiemi di Cantor sorte intorno al 1870, gli assiomi di Hilbert del 1899 costituenti una assiomatizzazione più completa di GE, e il sistema dei postulati di Giuseppe Peano (1858-1932, Cuneo) e Dedekind del 1901, che è la prima versione semiassiomatica dell’aritmetica.

L’assiomatica euclidea era fondata sul criterio dell’evidenza degli assiomi, della conoscenza cioè di un modello dei medesimi. La scoperta del modello di Klein 1872, di geometrie non euclidee, legata alla già citata soluzione del problema delle parallele, mise in rilievo l’arbitrarietà del criterio dell’evidenza.

Esso fu sostituito nell’assiomatica moderna dal criterio della coerenza, dell’inesistenza cioè di antinomie derivabili dagli assiomi.

La scelta del criterio della coerenza fu motivata da vari fattori. Anzitutto l’incoerenza di una teoria assiomatica implica, da una parte l’inesistenza di un suo modello per cui i suoi enunciati vertono su nulla, da un’altra parte la sua banalizzazione completa poiché in una teoria incoerente è dimostrabile tutto.

In secondo luogo la coerenza equivale comunque all’esistenza di un modello anche se recondito.

Il cambiamento della concezione di assiomatica fece perciò sorgere nell’ambito dei fondamenti, oltre al già citato problema della completezza, quello della coerenza delle teorie riformulate semiassiomaticamente.

Il riduzionismo ottocentesco si rivelò inefficace nella soluzione di tali problemi. Si ritenne perciò opportuno riformulare le teorie non formali sotto la forma di teorie assiomatiche nel senso di Hilbert.

Nelle teorie così concepite che adottano un linguaggio completamente artificiale scompare completamente il riferimento iniziale ad un contenuto; caso mai, il fattore semantico è successivo.

Le prime teorie assiomatiche degli insiemi, quella di ZF e NBG, di Zermelo (1871-1953, Berlino) e Fraenkel von Bernays (1891-1965, Monaco, Germania), e quella di S Neumann (1903-1957, Budapest), Bernays (1888-1977, Londra) e Gödel, ed il sistema formale dell’aritmetica elementare datano dal 1908 in poi.

La metateoria

Lo studio di una teoria assiomatica T ne è la metateoria MT. Essa si articola in morfologia di T, nella quale si individua il linguaggio di T; sintassi di T, nella quale si stabiliscono gli assiomi di T e se ne deducono quindi i teoremi; semantica di T, nella quale si stabiliscono gli enunciati veri di T, quegli enunciati cioè veri in ogni modello di T, in ogni universo cioè nel quale sono veri gli assiomi di T; e logica di T, che confronta sintassi e semantica.

A H. L’aggiunta, in una teoria con assiomi, di un nuovo assioma A ad un sistema precedente H di assiomi deve comportare la verifica dell’indipendenza e della compatibilità di A con H. Devono dunque coesistere, H e A, un modello di H e non di A e un modello di A e di H.