Stima Puntuale vs Stima Intervallare

Differenze

Stima puntuale

X₁ ... X_n

Campione casuale

Stima puntuale del parametro θ

Strumento

T = T (X₁, ..., X_n) stimatore puntuale

Errore quadratico medio

MSE (T) = E [(T - θ)²]

Dati campionari: x₁, ..., x_n

Risultato:

Stima puntuale: t = t (x₁, ..., x_n)

Stima intervallare

X₁ ... X_n

Stima per intervallo del parametro θ

Strumento

[L₁, L₂] = [L₁(X₁, ..., X_n), L₂(X₁, ..., X_n)]

Stimatore intervallo di confidenza

Affidabilità

Livello di confidenza

P(L₁ ≤ θ ≤ L₂) = 1 - d

Dati campionari: x₁, ..., x_n

Risultato:

[e₁, e₂] = [L₁(x₁, ..., x_n), L₂(x₁, ..., x_n)]

Intervallo di confidenza per la media (σ² noto)

X ~ N (μ, σ²) → Ipotesi di base

x ~ N (μ, σ²/n)

Standardizzando

Z = (X - μ)/(σ/√n) ~ N(0,1)

Z_α/2 = numero reale tale per cui

P(Z > Z_α/2) = α/2

-Z_α/2 = P(Z α/2) = α/2

⇒ P(-Z_α/2 α/2) = 1 - α.

Differenze

Stima puntuale

X₁...X_n

Campione casuale

Stima puntuale del parametro θ

Strumento

T = T (X₁, ..., X_n) stimatore puntuale

Accuratezza

Errore quadratico medio

MSE (T) = E [(T - θ)²]

Dati campionari:

x₁...x_n

Risultato

Stima puntuale:

T = T(x₁...x_n)

Stima intervallare

X₁...X_n

Stima per intervallo del parametro θ

[l₁, l₂] = [L₁(x₁, ..., x_n), L₂(x₁, ..., x_n)] stimatore intervallo di confidenza

Livello di confidenza

P(l₁ ≤ L ≤ l₂) = 1 - α

[₁, l₂] = [L₁(x₁, ..., x_n), L₂(x₁, ..., x_n)]

Intervallo di confidenza per la media (σ² noto)

X ~ N (μ, σ²)

-> Lo possiamo fare

Standardizzando

X ~ N (μ, σ²/n²)

Z = (X̄ - μ / σ/√n) ~ N (0,1)

Z_α/2 = numero reale tale per cui

P(Z > Z_α/2) = α/2

-Z_α/2 = P(Z < Z_α/2) = α/2

⇒ P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1 - α

P\left ( -z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \le z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right ) = 1-\alpha

\left ( VP\left ( -z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{X} - \mu \le z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right ) = 1-\alpha \right )

Lo stimatore intervallo di confidenza per la media di una popolazione al livello \(1-\alpha\) è:

\(\left [ \bar{X} - z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} , \bar{X} + z_{\frac{\alpha}{2}} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right ]\) intervallo individua due code equiprobabili e simmetriche rispetto a \(\bar{X}\)

L'intervallo di confidenza ha una lunghezza pari a \( \frac{2z_{\frac{\alpha}{2}}}{\sqrt{n}} \) che dipende da 3 elementi:

• La dimensione campionaria \((n)\)
• Il livello di confidenza \((1-\alpha)\)
• Il valore della varianza della popolazione \((\sigma^2)\)

Se siete invece alle prese con la dimensione campionaria \((n)\) si riduce l'ampiezza dell'intervallo e quindi lo stimatore intervallare è più preciso.

\(\Rightarrow\) a parità di \( \sigma \Rightarrow \downarrow (1-\alpha)\) cioè \(\downarrow S_{\alpha / 2}\) e \(\lambda\) dell'ampiezza dell'intervallo.

* Incrementando il livello di confidenza, aumenta il valore di \(z_{\alpha / 2}\) e quindi l'ampiezza dell'intervallo.

Un intervallo di confidenza risulta tanto grande da comprendere probabilmente tutti i valori plausibili del parametro, esso non fornisce più alcune informazioni e diventa pleàscar del tutto istile.

Intervallo di confidenza per la media

μ e σ² = D entrambe sparse incognite.

Quando σ² ipotetica sostituzione con uso stimato campionaria con inatteso nomi facciata, σ² è lieve campionario scorreva.

S² = ¹/_n-1 ∑_i=1ⁿ (X_i - X̄)²

Nella standardizzazione si ottiene:

T = ^{X̄ - μ}/_S/√n

P(_t^σ/2 ^σ/2) = 1- d

Intervallo di confidenza per la media μ e livello 1 - d

[X̄ - t_d/2 ^S/_√n, X + t_d/2 ^S/_√n]

Il concetto dell'intervallo di confidenza

t_d/2 = ^S/_√n polare, S = √n V.C. esol

S_√n porto, può elongimento degli l'intervallo di confidenza

Si osserva che t_d/2 ≥ 2 ⇒ l'ampiezza dell'intervallo di confidenza di maggior

Si dimostra che per in obesione ottiene l'intervallo di confidenzia:

[X̄ - z_α/2 ^S/_√n, X + z_α/2 ^S/_√n]

Uso di popolazioni non normali

(Quando dice, è noto pi non distribuzione del condurre nelle popolazione)

Specificamente l'intervallo di confidenza dipende del tipoi distribuzione ma

Si dimostra che per n modo otteni quanto affrettato perde di importanza

Per il teorme del CHIESE CENTRALE sappiamo che piccolezze di nei lo distribuzionerivelato, mediato campionamento non assombi con una normale con medius, μ vairanza d' derivate standardizzazione distribuzione approximist segue una nome siano sempre