Statistica applicata - proprietà degli stimatori, stima intervallare

Proprietà degli stimatori

• 1. Correttezza o non distorsione
• 2. Efficienza (confronto stimatori)
• 3. Consistenza

Servono a definire un buon stimatore.

• Correttezza: molto vicina. Medio dello stimatore = parametro da stimare
• Consistenza: allo a della dimensione campionaria, il distribuzione dello stimatore è concentrato intorno al parametro
• Efficienza: uno stimatore è più efficiente dell’altro se ha var <

Correttezza o non distorsione

Uno stimatore è uno stimatore corretto se e sse \( \mu (T) = \theta \) medio \(\theta \).

La distorsione di uno stimatore è calcolabile se lo stimatore non è corretto: \( B(T) = \mu(T) - \theta \) Bias.

• Correttezza asintotica
• Uno stimatore potrebbe essere distorto per n piccolo e non distorto per n grande.
• \(\lim_{n \to \infty} \mu (T) = \theta \)
• Error quadratico medio (mean square error)

\( eqm = mse(T) = \mu[(T - \theta)^{2}] \) quanto lo stimatore va intorno a \(\theta \).

Proprietà \( mse(T) = \mu[(T - \theta)^{2}] = Var(T) + B(T)^{2} \).

Var(T) = \mu[(T - \mu(T))^{2}].

Se lo stimatore è corretto la distorsione è nulla \( mse(T) = Var(T) \).

Proprietà dello stimatore

Correttezza o non distorsione. Efficienza (confronto stimatori). Servono a definire un buon stimatore.

• Correttezza

Medio dello stimatore: parametro da stimare.

• Consistenza

Tutto della chiamata campionaria è distribuzione dello stimatore.

• Efficienza

Uno stimatore è più efficiente dell'altro. Peana.

Correttezza o non distorsione

Uno stimatore T è uno stimatore corretto se e solo se E(T) = θ.

La distorsione di uno stimatore è calcolabile se lo stimatore non è corretto. B(T) = E(T) - θ.

Correttezza asintotica

Uno stimatore potrebbe essere distorto per il piccolo se non distorto per il grande.

n⟶∞E(T) = θ.

G per valutare la prossimità di T a θ, usando l'errore quadratico medio MSE(T) = E[(T - θ)²].

Quando lo stimatore va vicino a θ.

Proprietà MSE(T) = E[(T - θ)²] = Var(T) + [B(T)]².

Se lo stimatore è corretto la distorsione fosse nulla MSE(T) = Var(T).

Consistenza

Se prendiamo campioni sempre più grandi la p che il valore dello stimatore coincide con θ → 1. lim_n→∞ P(|Tn-θ|ε)=1, dove (ε>0).

Come verificare questo?

• Teorema con condizioni sufficienti (ma non necessarie)
• lim_n→∞ M(Tn) = θ lo stimatore deve essere almeno asintoticamente corretto
• lim_n→∞ Var(Tn) = 0 la distribuzione si stringe più distribuita intorno a M(Tn)

Efficienza o accuratezza

Mi riferisce al confronto tra due stimatori.

• Dati 2 stimatori T1 e T2 di uno stesso parametro
• T1 è più efficiente di T2 se
• NSE(T1)≤ NSE(T2) → efficiente quello che ha termine più piccolo
• Dati 2 stimatori corretti si dirà che T1 è più efficiente di T2 se
• Var(T1) ≤ Var(T2) e valore θ = θ → più è piccola meglio è

Verifica delle proprietà degli stimatori

Media campionaria

M(X) = μ è uno stimatore corretto per la media della popolazione.

Dimostrativo M(ΣX_i).

Esempio (ΣX_i) ΣE(X_i) Σp_i(t_i) = ^Σ(X) (Σ p_i) ΣE(X_iA(t_i)).

Proprietà degli operatori media

L'operatore media si presenta uguale per qualsiasi.

L'operatore media = l'operatore uniforme.

La var(x)^n-1 < μ è uno stimatore consistente poiché per lim_n→∞ mse(x_n) = lim_n→∞ var(x_n) → 0.

Consistenza poiché prende la potenza → 0 con n > 0 poiché media la potenza.

Dimostrazione

VAR(X) = VAR(_1/n ΣX_i) _1/n ΣVAR(X_i) + 2ΣΣcov(X_i,X_j).

Per sommare la VAR è necessario porla al quadrato.

VAR(λX) = λ²VAR(X) _1/n² ΣVAR(X_i).

Proprietà della VAR

• VAR(C) = 0
• VAR(CX) = C²VAR(X)
• VAR(X+Y) = VAR(X) + VAR(Y) + 2Cov(X,Y)

Variatore campionaria

μ/Σ(x_i - μ)²n = n non è uguale al parametro (Θ = σ²) la stimatore non è corretto.

limμ/ΣΣ(x_i - x^-)² = _n-₁ con μ/lim tende a n.

Dimostrazione

Applicando la dimostrazione ai termini e la proprietà della media campionaria A + B²C = 2AB doppio prodotto.

Var delle variabili.

Var della media campionaria.

Σx² = Σ x² / (n - 1)... dalla definizione.

G_animatore (variabile corretta) ⇒ µ = E^µ.

s² è corretta per la varianza; la sua media multipa è: q(s²) = s²h = _n⁄^n-1 Σ(x_i-x).

Vale quindi quanto detto prima: se j è c.c.s. deriva la sua normale ⇒ s² è anche uno stimatore consistente (lims_n→∞ nse(s²) = 0, lims_n→∞ Var(s²) = 0).

G_stimatoreè h noto e θ incognita.

Lo stimatore è µ corretto; infatti la sua media è q(s²) = s²h = _n⁄^n-1 Σ(x_i-x).

Se j è c.c.s. è distribuito come una variabile ⇒ s² è anche consistente per x².

Proporzione campionaria

G_{proporzioni campionaria} ⇒ la facciamo sempre in retto poiché si tratta della media campionaria di una Bernoulli.

P^{animatore corretto} lo q(P) = πtao var (p) = _π(1-π)⁄ⁿ lo stimatore è consistente poiché (lims_n→∞ nse(P) = lims_n→∞ π(1-π) = 0, _n→∞ π(1-π) = 0).

Una Bin con n=1 Bin (n, π) descrive 2 pole xi dada (successori/successo) dove π è la p di AP=X1 dove i x_i sono n successi estratti dalla Bernoulli.

Esercizio campione IID

Esercizio campione IID campionaria π=¼ estratto da una polpa con media v e varianza x².

Dato che stimatori equivalenti quello più efficiente è yT₁ = XT₂ = X₁ +2X₂ + 3X₃ + X₄⁄4.

N(T₁) = h(X) = µ.

Lo stimatore corretto B(T₁) = 0.

Var(T₁) = Var(X) = s²⁄n = _s²⁄⁴.

nse (T₁) = var (T₁) + B(T₁)².

nse (T₁) = _s²⁄⁴.

• nse (T₁) ≤ nse (T₂) → stimatore più efficiente
• ML(T₃) = a(x) + 2x₂ + 3x₃ + x₄⁄4

(a(X)₃)= ₁⁄^4hμ, a + è uno stimatore incorretto.

Perché, campione IID e X; N(X_i) = μ.

B(T₂) = θ^{2 μ}⁄_1u dato, ponne.

Var(T₂) = Var(x) = UX₂ + x₃ + X₄+ ₁⁄⁴ Var(x₃) + ₃₁⁄⁶⁴ Var(x)₄+ ₂₁⁄¹⁶Var (X= 16= 15⁄16.

• nse(T₁) = ₄⁄¹⁵
• nse(T₁) < nse(T₂)
• (α=0) x θ ≠ d

Metodo di reperimento degli stimatori

• Metodo dei momenti
• Metodo delle verosimiglianze
• Metodo dei minimi quadrati

Data un campione estratto da una popolazione X.

La verosimiglianza è funzione del parametro (dati sono fissi). L'(θ) indica quanto è probabile uno specifico parametro ignoto.

Se L(θ₁) > L(θ₂) θ₁ è il parametro più verosimile.

Equazione di verosimiglianza.

Otteniamo quindi una v.c. dello stimatore di max verosimiglianza. Se la pop. è una N(μ,σ²) ne è...

Proprietà degli stimatori di max verosimiglianza:

• Asintoticamente corretti
• Consistenti
• Asintoticamente efficienti
• Asintoticamente Normali

Stima intervallare

Abbiamo un intervallo di valori o probabilità aggiungendo anche una probabilità che l'intervallo contenga effettivamente θ.

Intervallo di confidenza/di fiducia

Intervallo di confidenza/di fiducia. Probabilità di trovare θ-σε θ+σε nell'intervallo prefissato (di valore assoluto). Probabilità fissata dal dato da cui calcolare il parametro (lunghezza dell'intervallo).

Si possono trovare:

• Intervalli di confidenza per la media σ² nota.
• Intervalli di confidenza per frazione/percentuale.
• Intervalli di confidenza per la varianza.

Intervallo di confidenza per la media con varianza nota

La pop deriva da v.c normale X~N(μ,σ²) σ²₀ = var. nota.

Volendo stimare la media il miglior stimatore è la media campionaria.

Z = _X¯ - μ / σ0/√n ~ N(0,1) standardizzata.

Se la v.c è N anche _X¯ è una normale (μ, σ²/n).

P(-z_α/2 ≤ _X¯ - μ / σ0/√n ≤ z_α/2) = 1 - α2.

z_α/2 è il percentile (1-α/2) della N(0,1).

Quantità incognite che dipendono da α.

Sfruttando l'aspetto a 1 la P che può cadere nel intervallo.

P(X - z_α/2 σ0/√n ≤ μ ≤ X + z_α/2 σ0/√n) = 1-α.

IC: X_¯ - z_α/2σ0/√n ≤ μ ≤ X_¯ + z_α/2σ0/√n.

Formula per trovare l'intervallo di confidenza con un certo grado di fiducia 1 - α.

Come trovare z_α/2?

Si moltiplica α per dividere tutto ciò che sta a sinistra per quello che ti portano le tabelle.

n-1 x = 0,95 <- dato.

x = 0,05.

x/2 = 0,025.

z_α/2 = 1-0,025 = 0,975.

Trovo questo valore all'interno della tavola.

E scrivo i valori esterni.

3_α/2 = 1,96.

Se la distribuzione non è Normale?

Per n>50¹ la media campionaria tende ad una Normale.

2. Intervallo di confidenza per la media con varianza incognita

La pop deriva da v.c. normale X~N(μ, σ²/ n)** uguale.

Utilizziamo ancora lo stimatore media campionaria.

z = x-μ^S/√n.

t_(n-1).

N-1 gradi di libertà dove N è la dimensione del campione.

** stimatore var campionaria corretto.

** studio α^S con S²e la distribuzione dello X è una t-student.

(IC = x ± t_n-α x S/√n).

x ± t(n-α) x S/√n(1).

Intervallo di confidenza da ricercare nei percentili della t-student.

Esempio n = 20.

α-x = 0,95.

x = 0,05.

x/2 = 0,025.

t_(n-1); x/2 = 2,093.

20 /19· 42,25 = (44,47).

t-student diventa una N(0,1) standardizzata.

20 /(49 · 42,25/2042.2549 · 2,093/2042,2597,88^± 104,12.

Anche se la X non è normale (1) per la distribuzione normale.

3. Intervallo di confidenza per la proporzione

La frazione incognita π.

v.c. Bernoulliana di parametro incognito p: P=(X/n) ~ N (p; √p(1-p)/n).

Distribuzione Normale.

Proporzione campionaria.

Sostituisco IC con v.c. Normale p ± z_α/2 √(p(1-p)/n).

Propagazione approssimata con una Normale.

Esempio: π=? N=100 α=0,05 z = 0,025 P = 70/100 IC = 0,7 ± 0,0984; [0,6016, 0,798].

Formule IC

IC per la media con X Normale e varianza nota [ x̄ - z_α/2σ/√n; x̄ + z_α/2σ/√n ].

IC per la media con varianza ignota per n≤50 [ x̄ - z_α/2s/√n; x̄ + z_α/2s/√n ].

IC per la media con X Normale e varianza ignota per n≤50 [ x̄ - t_n-1/2s/√n; x̄ + t_n-1/2s/√n ].

IC per la media con varianza ignota (anche se X è Normale) [ x̄ - t_N-1/2s/√n; x̄ + t_N-1/2s/√n ].

IC per la proporzione solo se n>100 [ p - z_α/2 √(p(1-p)/n) ; p + z_α/2 √(p(1-p)/n) ].

P(π) = P(N).

4. Intervallo di confidenza per la varianza

La varianza campionaria corretta S²n-1 chi quadrato con n-1 gradi di libertà.

p(π) 1 Non è parametrico per la formula.

Errore di prelievo del campione della stessa.

L’importante è che il campione sia rappresentativo.

Ossa campione dell’intervallo∈ limite pulp limite mi̅.

1. Errore è la campionessa s del campione.

2 IC per 10 medes con % = 2.s celte.

δ = 2 √(s²/n).

3. IC per 10 medes con x = N = s proprieto.

δ = t (n-m) ^s/√n per campioni piccoli.

δ = z s/√n per campioni grandi.

3. IC per il proporzions.

δ = 2x /√p(1-p) per n ≥ 100 → p "incognito" di solitto.

Dato il tale è possibile trovare queti l n ≥ p la precisione della stessa.

Non ma aggiusterei un δo datasse il valore dirutto non è un numero intero →M prendere come dimensione campionessa il primo intero superiore al valore a colocato.

Esempio

La prepa medes ausupis v.c N(μ,2s) con valore vero o 1,2 cm e un n iteravollo di coagiduzione con livetto li dio e 95% di campenesso di calcolore la miaumenzione campiondicio n.

δ = 2,96. s/√n δ= 2,96. s/√n.

μ = 1,2→ 95x = 0,05→ 0,025 p →μ = 0,25 → 0,025.

Campione IC = (x s)/√n→ 96.

Campione IC = (x− δ x)/√n.

2,96 5/√n . aoolore.

6 = 2,96.5/√n 6 = 2,96.5/√n = 2,96. s/√n.

n=40,67 →.

Esemplio

Formula 2/3 δ/6.

Propensione pereditiscalculare ni infatti di intervento per avere π misure di cofaduzione → 90% 100 piu- campione IC΄ seu- campione ^≥0,1.

Nove: ampianta.

δ = 2 x /√p(1−p).

π ˃ 0,5 piu˛ 1, p→√n.

1− x = 90%.

x = 0,1.

√x/√p (1−p)√n.

δ = 1,64/√0,5(1−0,5).

1,64= 0,041 = 6,24.

Formula operativo proporsione n ˃ (x/2 (√p(1−p)60.