Statistica (teoria) 2

Esercizio

Considerate le persone della 1ª fila.

X = {1 se F0 se M}

X = {1, 1, 0, 1, 1, 0, 0}

π_x = 5/8

µ_x = 5/8

Prob. femmine 6

σ_x² = ∑ X²/N

µ_x = π = 5/8, (5/8)² 15/64

In caso di variabile binaria

16 π_x = π(1 - π)

2 µ_x = π

3 Â̂_x = ∼Â

4 Â̂_x = S_x = Â̂(1 - π̂) sulla base di 15

S_x = ∼Â̂(1 - π̂) sulla base di 1

In questi casi userò sempre la formula 3 adattata al contesto, ovvero:

π̂ ± z_α/2 × π̂(1 - π̂) ∕ ;

Θ_z = z_α/2 × π̂(1 - π̂) ∕ N, margine di errore

Siccome X non è distribuita normalmente, la popolazione deve essere > di 30.

π̂ = 0,71 so che il 71% ha la variabile che mi interessa ma questo dato è una stima. Desidero dunque conoscere l'intervallo di confidenza.

N = 36            1 - α = 90%            = 5%

α/2 = , Z_α/2 = 1,65

0,71 ± 1,65 0,71(1 - 0,71) ∕ 36 = , 0,71 ± 0,12

Limite inferiore = 0,59            Limite superiore = 0,83

c. π˜ = 0,12

N = 111      1 - α = 80%      Z_α/2 = 1,28

0,12 ± 1,28 0,12(1 - 0,12) ∕ 111 = , 0,12 ± 0,035

Limite inferiore = 0,085            Limite superiore = 0,155

Esercizio

Considerate le persone della 1ª fila.

X = {₁ se F0 se M}       X = {1,1,0,1,1,0,0}

π_X = ⁵⁄₈       μ_X = ⁵⁄₈

Prob. femmine

⁶x_i² = ΣX²⁄_N       μ_X² = ⁵⁄₈   (⁵⁄₈)² = ¹⁵⁄₆₄

In caso di variabile binaria

⁶x_i = π  (1-π)     μ_X = π     Â = X = &widehat;π     Â = ½_X = π  (1-π)     S_X = &perc12;(1-π)  sulla base di L₁

In questi casi userò sempre la formula adattata al contesto, ovvero:

&widehat;π + z_à² × ½(&widehat;π(1-&widehat;π)⁄N)   = θ–z_à² × ½(π(1-π)⁄N)

Margine di errore

Siccome X non è distribuita normalmente, la popolazione deve essere ≥ di 30.

(L.I.)  &widehat;π = 0,71    so che il 71% ha la variabile che mi interessa ma questo dato è una stima. Desidero dunque conoscere l’intervallo di confidenza.

N = 36     1-à = 90%     à = 5%     Z_ಠ= 1,65

0,71 +  1,65 × ½(0,71 × (1-0,71))⁄36   = 0,71 +  0,12

0,71-0,12

Limite inferiore = 0,59     Limite superiore = 0,83

c. π = 0,12      N = 111      1-à = 80%      Z_ಠ= 1,28

0,12 +  1,28 × ½(0,12(1-0,12)⁄111)   =  0,12 +  0,035

Limite inferiore = 0,085     Limite superiore = 0,155

11.5a.

Si presume: \( \hat{p} = 0,5 \), se non venisse indicato \( \hat{p} = 0,5 \)

\( \Theta = 0.03 \quad 1-\alpha = 95\% \)

\( Z_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96 \)

\( 0,03 = \frac{1.96 \cdot \sqrt{0.6 \cdot (1 - \hat{p})}}{\sqrt{N}} \)

\( 0,03 = \frac{1.96 \cdot \sqrt{0.24}}{\sqrt{N}} \)

\( N = \frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{\Theta^2} \cdot \left( Z_{\frac{\alpha}{2}} \right)^2 \)

\( 2,3 \cdot 10^{-4} = \frac{0,24}{N} \)

\( N = 1024 \)

11.6a.

\( N = 100 \quad 1-\alpha = 90\% \)

\( Z_{\frac{\alpha}{2}} = 1,65 \quad \hat{p} = \frac{56}{100} = 0,56 \)

\( 0,56 + 1,65 \cdot \fra