Statistica - Formule, proprietà, postulati, definizioni

Teoria statistica tipo 1

Campionamento e censimento

Quali sono i vantaggi del campionamento rispetto al censimento?

• Riduzione costi
• Risparmio di tempo
• Maggiore qualità delle info
• Maggiore quantità delle info

Proprietà delle frequenze

Elencare le proprietà della frequenza relativa f_j

1. 0 ≤ f_j ≤ 1   ∀ j = 1, ..., h
2. ∑_j=1^h f_j = 1

Elencare le proprietà della frequenza percentuale p_j

1. 0 ≤ p_j ≤ 100   ∀ j = 1, ..., h
2. ∑_j=1^h p_j = 100

Proprietà della frequenza assoluta n_j

1. 0 ≤ n_j ≤ m   ∀ j = 1, ..., h
2. ∑_j=1^h n_j = n

Proprietà della media aritmetica

x̄ = (1/m) ∑_i=1^m x_i

1. Internalità: x₍₁₎ ≤ x̄ ≤ x_(m)
2. Somma a zero degli scarti: ∑_i (x_i - x̄) = 0

Teoria statistica tipo 1 (non è detto che ci sia)

Campionamento e censimento

Quali sono i vantaggi del campionamento rispetto al censimento?

• Riduzione costi
• Risparmio di tempo
• Maggiore qualità delle info
• Maggiore quantità delle info

Proprietà delle frequenze

Elencare le proprietà della frequenza relativa f_j

1. 0 ≤ f_j ≤ 1   ∀ j = 1, ..., k
2. ^k∑_j=1 f_j = 1

f_j = m_j⁺ / m

Elencare le proprietà della frequenza percentuale p_j

1. 0 ≤ p_j ≤ 100   ∀ j = 1, ..., k
2. ^k∑_j=1 p_j = 100

p_j = f_j · 100

Proprietà della frequenza assoluta m_j

1. 0 ≤ m_j ≤ m   ∀ j = 1, ..., k
2. ^k∑_j=1 m_j = n

n_j = f_j · m

Proprietà della media aritmetica

1. ̄x = 1/m · ^m∑_i=1 x_i
2. Intensità: x_(u) (m)
3. Somma a zero degli scarti: ^m∑_i=1 (x_i - ̄x) = 0

1. Somma dei quadrati degli scarti è minima¹
2. ¹
3. Invarianza alle trasformazioni lineari²

5. Associatività, obtiamo la ope definizione la mediana x_{0 1) internazionali}^(x), x → 2) x₀ = minim c∑ 3) distribuzione x = di de - proprietà della varianza^(x)v(x)=

1. v(x) > 0
2. v(x) = 0 ese   y_i = a + b_x

Proprietà della SD

• SD(x) > 0
• SD(x) = 0 se x è costante
• ∀ i, i = a + bx ⇒ SD(y) = |b| SD(x)

Percentile

Definire il k-esimo percentile x_p è quel valore t.c. F(x_p) = p

Tipo 2 (c'è ma sempre 1)

Funzione di probabilità

Sia dato uno spazio di probabilità Σ e sia A un evento di Σ, indagare le proprietà della funzione di probabilità P(A)

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(∅) = 0, P(Σ) = 1

Postulato empirico del caso

Enunciare il postulato empirico del caso (cioè del frequentismo della probabilità).

In un gruppo di prove ripetute più volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi A presenta con una frequenza relativa che tende alla probabilità dell'aumento del numero di prove P(A) = ^M/_{M + ε}, dove ε → 0 per m → ∞

Postulati del calcolo delle probabilità

Elencare i postulati del calcolo delle probabilità

• Gli eventi formano un'algebra (di Boole)
• ∀ A ⊆ Σ P(A) ≥ 0
• P(Σ) = 1
• ∀ A, B disgiunti: A∩B = ∅, la loro unione P(A∪B) = P(A) + P(B)

Tipo 3

Supporto e valore atteso di una VC

Definire in generale il supporto di una VC x.

Il supporto S_X è l'insieme dei possibili valori che la VC x può assumere.

Definire in generale il valore atteso di una VC x.

E(x) = Σ_x∈Sx x P(X=x)

Elencare le proprietà del valore atteso

1. x_min ≤ E(x) ≤ x_max
2. E[x - E(x)] = 0
3. E(x) = argmin_c E[(x-c)²]
4. Se y = a + bx allora E(y) = a + bE(x)

Funzione di probabilità e funzione di ripartizione

Elencare le proprietà della funzione di prob. f(x)

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1
2. Σ_x∈Sx f(x) = 1

Elencare le proprietà della funzione di ripartizione F(x)

F(x) = P(X ≤ x)

1. Monotonia: ∀ x₁ 2, F(x₁) ≤ F(x₂)
2. ₀lim_x→−∞F(x)=0, lim_x→+∞F(x)=1
3. Continuità a dx lim_x→x0⁺ F(x)=F(x₀) (la funz. ci ripeteremo più fort. anche i der.)
4. P(a<x≤b) = F(b) - F(a)

Variabile casuale Bernoulli

Definire la V.C Bernoulli e tutte le sue proprietà.

X ~ Ber (π)

1. _X = {0, 1}
2. f_(X) = π^X (−π)^1−X oppure f_(X) = {bπ, ͠ se Χ=1 1−π, se Χ=0}
3. Θ = [0, 1], cioè 0≤π≤1, dove m∈ℤ⁺
4. E(X) = π
5. V(X) = π(1-π)

Distribuzione binomiale

Definire la binomiale con tutte le sue proprietà.

X ~ Bin (m, π)

1. _X = {0, 1, ..., m}
2. f_(x) = (^m_x) π^x (1−π)^m−x
3. Θ = [0, 1], cioè 0≤π≤1, dove m∈ℤ⁺
4. E(X) = mπ
5. V(X) = mπ(1-π)
6. Proprietà riproduttiva della binomiale: sono Χ₁, ..., Χ_k V.C indipendenti, dove Χ_i ~ Bin (ℳ, π); posto ℒ = Χ₁ + ... + Χ_k, allora ℒ_k ~ Bin (ℓ_k + ... + ℓ_k, π)

Distribuzione Poisson

1. Definire la Poisson con tutte le sue proprietà.

1. S_X = {0, 1, 2, ..., n}
2. f_X(x) = ¹/_x! λ^x e^-λ
3. Θ = ℝ⁺, cioè λ > 0
4. E(x) = λ
5. V(x) = λ
6. Proprietà riproduttiva: siano x₁, ..., x_m m VC indip. ident. dove x_i ~ Poiss(λ_i), S_m = x₁ + ... + x_m ~ Poiss(λ₁ + ... + λ_m)

Distribuzione normale

2. Definire la Normale con tutte le sue proprietà.

1. S_x = ℝ, cioè (-∞, +∞)
2. f_x(x) = ¹/_√(2π)σ² e^{-½ (x-µ/σ)²}
3. Θ = ℝ x ℝ⁺, cioè Θ = { -∞
4. E(x) = µ
5. V(x) = σ²
6. X ~ N(µ, σ²), Y = a + bX → Y ~ N(a+bµ, b²σ²)
7. X ~ N(µ_x, σ_x²), Y ~ N(µ_y, σ_y²)
8. X e Y indipendenti → X + Y ~ N(µ_x + µ_y, σ_x² + σ_y²)

Proprietà della normale.

Variabile chi-quadro

Definire la variabile χ² (Chi-quadro).

Siano z₁, ..., z_m m VC IID, dove z_i ~ N(0,1).

1. χ₁² = z₁² + ... + z_m² = ∑_i=1^m z_i²
2. S_m = ℝ⁺
3. Θ = { 1, 2, ..., } = m, dove m sono i gradi di libertà
4. E(χ₁²) = m
5. V(χ₁²/m) = 2m

Distribuzione t-Student

Definire la t-Student.

Sia Z ~ N(0,1), con y ~ χ²_m, Z e y indipendenti.

1. t_m = Z/√(y/m)
2. S_tm = ℝ
3. È campanulare, simmetrica rispetto allo zero, e con code più alte rispetto alla Normale e l'andamento dipende dai gradi di libertà
4. E(t_m) = 0
5. V(t_m) = m/(m-2)
6. Θ = { 1, 2, 3, ..., m }

TCL per la somma

Def: sono \( x_1, x_2, \ldots, x_m \) m VC IID, t.c. \( V(x_i) = \sigma^2 \) e \( E(x_i) = \mu \).

Posso \( S_m = x_1 + x_2 + \ldots + x_m \).

Allora, \( S_m \sim N(m \mu, m \sigma^2) \).

Osservazioni:

1. \( E(S_m) = E(x_1 + x_2 + \ldots + x_m) \)
2. \( = E(x_1) + E(x_2) + \ldots + E(x_m) \)
3. Ma visto che sono IID, il valore di \( E = \mu \)
4. \( = \mu + \mu + \ldots + \mu = M\mu \)
5. \( V(S_m) = V(x_1 + x_2 + \ldots + x_m) \)
6. \( = V(x_1) + V(x_2) + \ldots + V(x_m) \)
7. \( = \sigma^2 + \sigma^2 + \ldots + \sigma^2 \)
8. \( = m \sigma^2 \)
9. Quindi fare \( \sqrt{m} \sigma \)
10. Se \( x_1, x_2, \ldots, x_m \) fossero tutte normali indipendenti \( x_i \sim N( \mu, \sigma^2 ) \), \( S_m \sim N(m \mu, m \sigma^2 ) \)

TCL per la media

Def: siano \( x_1, x_2, \ldots, x_m \) m VC IID t.c. \( E(x_i) = \mu \) e \( V(x_i) = \sigma^2 \).

Posso \( \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_m}{m} = \frac{S_m}{m} \).

Allora \( \overline{x} \xrightarrow{a} N \left( \mu, \frac{\sigma^2}{m} \right) \).

Osservazioni:

1. ^1o. E(x) = E(M) = ¹⁄_m E(S_m) = ¹⁄_m E(cS_m) = ^m_u⁄_m = u
2. ^2o. V(x) = V(M) = V(^S_m⁄_m) = ¹⁄_m² V(S_m) = ¹⁄_m² var s² = ^S2⁄_m²....

TCL per la proporzione

TCL per la PROPORZIONE (o fateri relat trebui).

Det: Siamo x₁, x₂, ..., x_m a VC di Bernoulli (o di coloniiche); x_i ~ Bern (prog).

Poso - = x1 + x2 + .... + xmm.

Inoltre ^- ~ N (^u, ^u_u(1-_u)⁄_m)_----------

Tipo 5

Media campionaria

Induzione il volore atteso e varianza della media campionia ne del caso di un campionamento casuale semplice senza nēimmirtione (OOS-SLE).

E(x̄) = ^S_u2⁄_m

V(x̄) = ^O2⁄_m [^{N - m}⁄_{N - 1}]

In cui N è la numerasita tole defta popolnecione_..........

Proprietà degli stimatori

Deservere le propriete desideraili per cue vtinatoren per un esseroso.

1. ^1O CORRETTEZZA: Se h uno enmmatorio per m, ^u_h e corretto se e solo se E(h) = o
2. ^2O EFFICIENZA_— Se h stimatore per ufl, e ^uk≠⁰ e h ha piena efficienza se C_E(h-ref) = 1, ^w⁄_ornost ≠ uh ha piena efficienza se C_E(h) = ^C⁄_E(81).....

Errore quadratico medio

Definire l'errore quadratico medio (MSE) di uno stimatore e le sue decomposizione.

MSE(h) = E[(h - θ)²] = V(h) + β²(h) dove β(h) = E(h) - θ.

Se h è corretto, MSE(h) = V(h).

Proprietà asintotiche degli stimatori

Definire le proprietà asintotiche degli stimatori (solo per m → ∞).

Sia h uno stimatore per θ:

1. Correttezza asintotica: h è corretto asintotico se E(h) → θ, m → ∞
2. Consistenza: h è consistente (in media quadratica) per θ, se MSE(h_m) → 0, m → ∞ V(h_m) → 0, β²(h_m) → 0, m → ∞

Stimatori di massimo verosimiglianza

Riportare le proprietà degli stimatori di massimo verosimiglianza.

Sia Θ̂ uno stimatore di massimo verosimiglianza per Θ:

1. E(Θ̂) → Θ, m → ∞
2. V(Θ̂) → I^-1(Θ) (dove I^-1 è la minima varianza possibile), m → ∞
3. Θ̂ ≃ N(Θ, I^-1(Θ))
4. È invariante alle trasformazioni monotone, cioè se ψ = g(Θ) → φ = g(Θ̂) ∀ g incompleta dove si può scrivere g(Θ̂) = g(̂Θ)

Errori di I e II tipo

Definire e spiegare gli errori del I e del II tipo.

Errore I tipo è rifiutare H₀ quando è vera e si commette con probabilità α.

Errore II tipo è accettare H₀ quando è falsa e si commette con probabilità β.

Potenza del test

Definire la potenza del test.

La potenza del test è 1-β ovvero la probabilità di accettare H₁ quando è vera.

Livello di confidenza

Definire il livello di confidenza.

Il livello di confidenza della stima di un parametro θ è la "fiducia" che si ripone nel fatto che l'intervallo di confidenza cada sul parametro. In altri termini è la probabilità che il tale contenga θ. 1-α = P(θ ∈ IC) = P(θ| X̄ ± z_α se(X̄)) = P(θ ∈ (H(X̄) ± h_seX̄))

Livello di significatività

Riportare la definizione del livello di significatività di un test statistico specificando il suo significato.

P(T > t_os | H₀ vera)

Distinzione tra SD e SE

SD(x): σ = √(1/m Σ (x_i - ̅)²)

SE(θ̂) = √V(θ̂)

SE = σ/√m

V(̅) = σ²/m

Funzione di verosimiglianza

Importante la definizione di funzione di verosimiglianza.

Sia f(x, Θ), un modello e sia x₁, ..., x_m i componenti, si definisce la funzione di verosimiglianza per Θ.

L(Θ) ∝ ∏_i=1^m f(x_i, Θ)... e misura la verosimiglianza dei valori Θ alle basi.

Tipo 8

Assunti del modello di regressione

Elencare e descrivere gli assunti del modello di regressione.

1. = ₀ + + corretta specificazione
2. E() = 0
3. V() = ² ∀, omoschedasticità
4. COV(, ) = 0, esogeneità
5. La covarianza tra i vari residui è nulla COV(, ) = 0 ∀ ≠ , i residui sono tra loro indipendenti
6. ∼ (, ²) ⟷ ∼ (₀, , ²)

Proprietà degli stimatori della retta di regressione

Elencare e descrivere le proprietà degli stimatori della retta di regressione.

1. ̂₀ e ̂₁ sono stimatori corretti E(̂₀) = ₀, E(̂₁) = ₁
2. Teorema di Gauss-Markov. Nella classe degli stimatori corretti per ₀ e ₁, ̂₀ e ̂₁ hanno varianza minima

Coefficiente di correlazione

Indicare le proprietà del coefficiente di correlazione.

1. -1 ≤ ≤ 1
2. È un numero puro
3. È simmetrico =
4. È invariabile alle trasformazioni lineari = + ⟶ [ℎ | ]
5. R_xy misura l'associazione lineare tra x e y; se l'associazione è non lineare allora R non funziona.

Analisi dei residui

Descrivere l'analisi dei residui nella verifica degli assunti del modello di regressione.

^e_i = y_i - ŷ_i = y_i - (β₀ + β₁ ^x̄_i)

1. E(^e_i) = 0
2. V(^e_i) = σ² costante: si osserva la nube dei residui e si valuta se questi hanno una forma oblungata
3. COV(^e_i, ^e_j) = 0
4. COV(^e_i, x) = 0
5. ^e_i ~ N(0, σ²): si verifica osservando l'istogramma dei residui, se tale istogramma assomiglia

Scomposizione della varianza

Riportare la scomposizione della varianza della variabile y e lo schema di analisi della varianza nel modello di regressione.

TSS = RSS + ESS

TSS = ^mΣ_i=1 (y_iA - y̅)²

Residual sum of squares → RSS = ⁿΣ_i=1 (y_i - ŷ_i)

Explained sum of squares → ESS = ^mΣ_j=1 (ŷ_j - ÿ_j)²

Schema di analisi della varianza: