Statistica

Statistica

La statistica è un insieme di metodologie che hanno come scopo la conoscenza dei fenomeni collettivi. È una disciplina fondamentale nello studio degli organismi viventi. In linea generale, nei fenomeni biologici la variabilità è elevata, in quanto i fenomeni sono influenzati da molti fattori. Ci sono tipologie di fenomeni collettivi: i fenomeni collettivi che sono tali perché riguardano una collettività di casi singoli (per esempio, le caratteristiche comportamentali della popolazione dell’Europa centro-orientale), oppure un solo caso che richiede tante misurazioni. Molti infatti sono i fenomeni relativi a un solo caso, alla cui conoscenza si può pervenire con la ripetizione delle misurazioni (collettività di osservazioni): per esempio, la quantità di bario liberata ad alta quota da una determinata apparecchiatura allo scopo di creare nubi artificiali.

Ripetendo lo stesso esperimento o la stessa misurazione, non si ottiene lo stesso risultato, per la presenza di errori casuali di misurazione. Si tratta di errori non eliminabili completamente, che non assumono dimensioni macroscopiche. Derivano dall’impossibilità di considerare le numerose caratteristiche che influenzano il fenomeno.

Errori casuali e distorsioni

Mentre gli errori casuali a volte aumentano, a volte diminuiscono il valore reale, le distorsioni operano sempre nella stessa direzione e influenzano quindi la media. La singola misurazione è quindi uguale al valore reale + l’errore casuale + l’eventuale distorsione.

Osservazione e sperimentazione

La statistica è lo studio di dati raccolti oppure costruiti con esperimenti. Si parla di studi osservazionali quando i trattamenti non sono assegnati dai ricercatori (come nel caso del fumo e dei suoi effetti, oppure nel caso della colorazione di una specie animale e della sua predazione). Si parla di studi sperimentali quando lo sperimentatore fa trattamenti diversi ai vari soggetti. Gli studi osservazionali sono meno costosi, spesso si utilizzano dati raccolti per altri scopi.

Statistica descrittiva e inferenziale

Lo studio dei fenomeni collettivi può essere svolto sull'intera collettività, oppure solo su una sua parte. Se si utilizzano informazioni su una parte per trarre conclusioni o deduzioni sull’intera collettività, il campo della statistica è chiamato statistica inferenziale o inferenza statistica. Fare inferenza vuol dire proiezione da una parte al tutto. Al contrario, la statistica descrittiva ha come oggetto la semplice descrizione quantitativa delle caratteristiche di una collettività, sia essa intera o parziale.

I descrittori

Un parametro è un valore numerico che descrive una caratteristica della popolazione; per esempio, l’aspettativa media di vita alla nascita di una intera popolazione, la deviazione standard dell’età di una popolazione, ecc. Si rappresenta solitamente con una lettera greca.

Una statistica è un valore numerico che descrive una caratteristica del campione, quindi rispetto a prima una parte. Per esempio, la media e la deviazione standard di un campione di studenti in riferimento al punteggio con cui si sono diplomati. Si rappresenta solitamente con una lettera romana.

Popolazione statistica e unità statistiche

Popolazione statistica: è l’oggetto di una indagine, l’insieme degli elementi che ci interessano ai fini dell'indagine (per esempio, tutte le aziende agricole di una regione).

Unità statistiche: sono i singoli elementi che compongono la popolazione statistica, possono essere persone, oggetti, animali, linee produttive, ad esempio le singole bottiglie di vino (le singole aziende).

Fenomeni statistici

Fenomeni statistici: sono le caratteristiche rilevate per ogni unità statistica (per esempio, la tipologia di processo produttivo); si distinguono in fenomeni qualitativi (espressi con parole o concetti) e fenomeni quantitativi (in numeri).

Modalità: sono i diversi valori che può presentare un fenomeno (per esempio, riguardo alla tipologia di processo produttivo: convenzionale o biologico; intensivo o estensivo, ecc.).

• Fenomeni ordinali: fra le modalità si può stabilire un ordine logico (crescente o decrescente): per esempio, livello di accordo con la necessità di eliminare le auto con motore a scoppio entro i prossimi 25 anni.
• Fenomeni nominali: fra le modalità si possono instaurare solo relazioni di uguale o diverso: per esempio, tipologia di parassiti di una determinata coltura.

Per praticità di elaborazione si attribuiscono codici numerici alle diverse modalità dei fenomeni qualitativi che rimangono tali: si tratta infatti di dati che non provengono da operazioni di misurazione o conteggio, ma da una codifica.

Fenomeni quantitativi

I fenomeni quantitativi si presentano in modalità numerica, derivata da operazioni di misura o di conteggio:

• Fenomeni discreti: le modalità sono costituite da un numero finito di valori, che possono variare tra loro solo per un ammontare fisso (per esempio, le giornate estive con il raggiungimento dei 40 gradi di temperatura); le modalità possono essere poste in corrispondenza con un sottoinsieme dei numeri interi.
• Fenomeni continui: la scala delle possibili modalità è continua: il numero delle modalità è teoricamente infinito (le modalità possono differire tra loro per entità variabili). Le modalità possono essere poste in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dei numeri reali. Per esempio, la presenza di gas serra in atmosfera, in ppm (parti per milione).

Scala di intervallo e scala di rapporto

Una scala di intervallo ha il punto di origine fissato convenzionalmente, come punto di riferimento (per esempio, scala dei gradi centigradi per la temperatura: il punto zero non significa assenza di temperatura). In queste scale, hanno significato le differenze, ma non i rapporti: tra due temperature, possiamo affermare che una è inferiore all’altra, ma non conosciamo il loro rapporto.

Una scala di rapporto ha il punto di origine legato in modo naturale all’assenza di valore, come punto di riferimento (per esempio, l’avanzamento della linea di terra alla foce di un fiume, per effetto dei sedimenti: il punto zero ha il significato di assenza di avanzamento). In queste scale, hanno significato sia le differenze, sia i rapporti: tra due fiumi, possiamo affermare che uno presenta un avanzamento della linea di terra corrispondente a due terzi dell’altro.

Accorgimenti per lo svolgimento di una indagine statistica

• Per ottenere risultati affidabili occorre seguire procedure rigorose e controllare (limitare) i fattori di disturbo dell’indagine.
• Occorre soprattutto partire da un’ottica corretta e non distorta.
• Per esempio, se si effettua uno studio su due gruppi di soggetti, per ottenere risultati comparabili è necessario le caratteristiche dei due gruppi siano corrispondenti.

Casi di studio

Caso 1: Poliomielite: gli studi sugli effetti del vaccino. Mezzo milione di bambini venne vaccinato (gruppo di trattamento). Per mezzo milione di bambini la famiglia rifiutò la vaccinazione (gruppo di controllo). 1 milione non fu deliberatamente vaccinato (gruppo di controllo). Il problema: la poliomelite colpiva maggiormente i benestanti, e nel gruppo di trattamento erano più frequenti i benestanti.

Caso 2: Per verificare l’effetto di un farmaco, non dovrebbero essere i pazienti a scegliere il gruppo in cui entrare (di trattamento o di controllo). Si avrebbe il rischio di una sproporzione di pazienti più attivi, meno rassegnati, più attenti, più consapevoli nel gruppo di trattamento. Occorre un esperimento controllato, dove è la casualità statistica a stabilire chi farà parte del gruppo dei due gruppi. Conviene utilizzare anche dei placebo, e sia i pazienti, sia i medici dovrebbero essere all’oscuro del gruppo di appartenenza (esperimento double blind).

Caso 3: Gli studi sull’effetto del fumo sono studi sul campo (i soggetti stessi si assegnano ai diversi gruppi). Si osserva una forte associazione tra fumo e malattie cardio-circolatorie. Però gli uomini, più forti fumatori rispetto alle donne, sono comunque più esposti a disturbi di tipo cardio-circolatorio.

Caso 4: Lo Stato della California aveva valutato l’efficacia di un programma di riabilitazione dopo l’uscita dal carcere, con l’obiettivo di ridurre il tasso di recidivi. Il programma, la cui adesione era su base volontaria, prevedeva anche alcuni anni di addestramento in stile militare, improntato a una severa disciplina. I primi risultati sembravano indicare un buon funzionamento del metodo, che riduceva la probabilità di rientro in carcere entro due anni dal rilascio. Ma il problema era l’adesione volontaria, che rendeva i due gruppi non comparabili.

Statistica descrittiva

Misure di posizione, di variabilità e di concentrazione

Calcolo di una media: Il calcolo di una media ha lo scopo di rappresentare con un solo indicatore un insieme dei dati, evidenziando quindi l’ordine di grandezza. Le medie si distinguono in: medie ottenute in base a un vincolo analitico e medie che fanno riferimento alla posizione dei valori.

Medie

Media analitica: Il calcolo di una media analitica consiste nel determinare un’opportuna operazione che viene applicata all’insieme dei valori.

• Media aritmetica: semplice o ponderata, è la somma dei valori.
• Media geometrica: in cui l’operazione è il prodotto dei valori.
• Media quadratica: in cui l’operazione è il quadrato dei valori.

Media aritmetica: Noi indicheremo la media aritmetica con M ed è la somma dei valori divisa per il numero di valori. Essa è un gruppo di valori sempre compresi tra il valore minimo e quello massimo. La somma degli scarti della media è sempre pari a zero.

Media aritmetica ponderata: La media aritmetica ponderata è la somma dei prodotti di ogni valore con il relativo peso divisa per la somma dei pesi. Questa media si usa in due casi:

• Quando i dati sono presentati in una distribuzione di frequenze, dove a ogni modalità corrisponde una certa numerosità di unità statistiche (pesi).
• In generale, quando si ritiene utile (o necessario) ponderare i valori con un opportuno sistema di pesi, in quanto è ragionevole dare a ogni valore un proprio livello di importanza.

Le principali medie di posizione

Mediana (Me): La mediana è la modalità che si colloca al centro della successione dei termini, ordinati in senso non decrescente. La mediana di n osservazioni di un fenomeno quantitativo oppure qualitativo ordinale, è la modalità che nella successione dei valori, ordinati in senso crescente, occupa il posto centrale. È preceduta dal 50% dei valori, è seguita dal 50% dei valori.

Media e mediana nelle distribuzioni asimmetriche: Nella distribuzione di una popolazione o di un campione, la media non separa in due parti uguali le unità statistiche (tranne quando la media coincide con la mediana). La media risente del fatto che alcuni valori siano molto distanti dalla media stessa, mentre la mediana non ne risente. Se una coda della distribuzione dei valori è molto allungata, la media è spostata verso questa coda, in confronto alla mediana, la quale non dà così importanza ai valori estremi della distribuzione.

Tipi di asimmetria

• Asimmetria negativa: Coda pronunciata verso sinistra, quindi maggiore concentrazione verso le modalità maggiori.
• Asimmetria positiva: Coda pronunciata verso destra, quindi maggiore concentrazione verso le modalità minori. M è superiore a Me.

I percentili

I percentili sono indicatori che dividono in due parti ma la divisione avviene in un punto indicato dal percentile. Il percentile di ordine (100 p) è il valore x che divide in due parti la distribuzione (ordinata), in modo che il p% dei valori sia prima di x_p. Casi particolari: Il cinquantesimo percentile corrisponde alla mediana. Il decimo percentile corrisponde al primo decile, il ventesimo percentile al secondo decile, ecc. Il venticinquesimo percentile corrisponde al primo quartile (Q₁), il settantacinquesimo percentile corrisponde al terzo quartile (Q₃).

Moda (Mo): La moda è la modalità più frequente; è interessante quando n è piuttosto elevato e quando una modalità ha frequenza più elevata delle altre.

Media quadratica (rms): È utile quando ci sono valori negativi e valori positivi, che darebbero una media aritmetica molto prossima allo zero. È maggiore o uguale alla media aritmetica. Si alzano al quadrato i valori. Si calcola la media dei quadrati. Si estrae la radice quadrata di questa media.

La media geometrica (Mg)

Radice n-esima del prodotto. Si utilizza per il calcolo della media del tasso di interesse, oppure del tasso di incremento o di decremento. In questi casi, la somma non è idonea a fornire il reale ordine di grandezza del fenomeno.

Il significato di variabilità

Una media sintetizza un gruppo di dati in un unico valore; questa operazione comporta tuttavia una perdita di informazioni. Due campioni possono fare riscontrare la stessa media, pur a fronte di situazioni molto diverse: due compagini di lupi scandinavi possono entrambi caratterizzarsi per un peso medio di 20 kg, ma questo dato non dice nulla della loro concentrazione intorno alla media.

Le misure di variabilità sono indicatori in grado di valutare in modo sintetico le differenze tra i valori di un gruppo di dati:

• Non assumono mai valori negativi.
• Sono pari a zero se il fenomeno non presenta variabilità.
• Presentano valori crescenti all'aumentare della variabilità.

Il campo di variazione (range)

È la differenza tra il valore massimo x_max e il valore minimo x_min tra quelli osservati: Ha il difetto di tenere conto soltanto dei valori estremi, non essendo sensibile alle modificazioni nei valori intermedi (che alterano comunque la variabilità globale).

La deviazione standard o scarto quadratico medio

Si basa sugli scarti tra i singoli valori e la loro media aritmetica. Non sarebbe possibile utilizzare la media aritmetica degli scarti, poiché la loro somma algebrica è sempre nulla. Si può invece impiegare la media dei quadrati degli scarti (rms).

Simbologia: La deviazione standard campionaria si indica con s. La deviazione standard della popolazione si indica con σ. Spesso, per indicare in modo generico a deviazione standard, si utilizza SD.

SD: Il calcolo

Si dice deviazione standard la media quadratica degli scarti di ogni valore dalla media aritmetica. La deviazione standard è espressa nella stessa unità di misura dei valori del fenomeno. Il numeratore che troviamo sotto la radice quadrata, ossia la sommatoria alla seconda, è chiamato devianza.

Alcune proprietà della media aritmetica e della deviazione standard: Se a tutti i valori di una serie viene sommato un numero, la media aumenta di questo valore, la deviazione standard non cambia. Se tutti i valori di una serie vengono moltiplicati per una costante, la media e la deviazione standard risultano moltiplicate per questa costante.

La varianza

La varianza è il quadrato della deviazione standard. Non è espressa nella stessa unità di misura del fenomeno, ma nel quadrato di questa unità di misura.

Altre misure di dispersione

Differenza interquartile (utile soprattutto quando la distribuzione dei valori non è approssimabile con la distribuzione normale) – è la differenza tra il 75esimo percentile e il 25esimo percentile.

Gli indici relativi di variabilità

Quando due fenomeni hanno unità di misura diverse, il confronto diretto in termini di variabilità non è proponibile. In altri casi, il confronto tra la variabilità di due fenomeni può essere poco utile per il diverso valore medio dei fenomeni (per esempio, lunghezza del femore di un gruppo di esseri umani e lunghezza della zampa di un gruppo di mosche). Altre volte, si vorrebbe sapere se la variabilità è forte oppure debole. Per affrontare questi problemi, si utilizzano gli indici relativi di variabilità, da cui viene eliminata l'influenza dell'unità di misura e della dimensione media dei fenomeni considerati.

Gli indici di variabilità rapportati a un valore medio

Il più utilizzato è il rapporto tra la deviazione standard e la media aritmetica. Si ricava in questo modo il coefficiente di variazione (CV): Solitamente, CV viene moltiplicato per 100, per agevolarne la lettura; si interpreta quindi come la % della σ sulla media.

Obiettivi del calcolo del CV²

Confronto tra variabilità calcolate su fenomeni con unità di misura diverse o con ordini di grandezza molto differenti. Il CV può presentare valori superiori all'unità (o a 100, se è stato moltiplicato per 100), quando la deviazione standard è maggiore della media. Il CV perde di significato se il fenomeno può presentare valori negativi e positivi; in questo caso, la media può risultare molto prossima a zero.

Gli indici di variabilità rapportati al loro massimo

Sono idonei a rispondere a una domanda di questo tipo: La variabilità espressa da una deviazione standard, o da una varianza, è forte o è debole? Si calcolano indicatori il cui campo di variazione è standard (solitamente, l'intervallo 0 – 1).