Statistica - Appunti per esame

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva = è la branca della statistica che studia i criteri di rilevazione, classificazione, sintesi e rappresentazione dei dati appresi dallo studio di una popolazione o di una parte di essa (detta campione).

I risultati ottenuti nell'ambito della statistica descrittiva si possono definire certi, a meno di errori di misurazione dovuti al caso, che sono in media pari a zero. Da questo punto di vista si differenzia dalla statistica inferenziale, alla quale sono associati inoltre errori di valutazione.

Statistica inferenziale = è il procedimento per cui si inducono le caratteristiche di una popolazione dall'osservazione di una parte di essa (detta "campione"), selezionata solitamente mediante un esperimento casuale.

Variabili (dati)

Variabili quantitative e qualitative

Quantitative: numeriche.

Qualitative: non numeriche, tutte le altre.

Peso, altezza, la cui risposta è un numero, vanno a descrivere una nostra percezione: divertimento nel vedere un film, dolore nell'avere la febbre.

Variabili numeriche

Variabile numerica discreta: se l’insieme dei valori che può assumere è finito o numerabile. Esempio: quanti figli ha una famiglia? 1; 2; 3 figli.

Variabile numerica continua: se l’insieme dei valori che può assumere è l’insieme dei numeri reali* o un intervallo di numeri reali. Esempio: altezza di una persona: 1,76 mt; 1,77 mt; 1,80 mt.

Numeri reali* = numeri positivi o negativi con parte decimale finita o infinita.

In base alla variabile che abbiamo bisogna eseguire una classificazione differente.

→ Per decidere se una variabile è discreta o continua si deve ragionare su quali valori la variabile può assumere e non sui valori effettivamente assunti (è infatti evidente che i valori riportati sono sempre un numero di variabili finito).

I dati ottenuti da rilevazioni statistiche, per essere studiati, devono essere divisi in classi e determinare poi la frequenza assoluta = numero di osservazioni che appartengono a ciascuna classe.

Variabili discrete

Rilevando il voto di 40 studenti all’esame di statistica si ottengono i seguenti dati.

La variabile x osservata è una variabile discreta che può assumere solo valori interi.

Sceglieremo come classe i numeri k = 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30.

Classe = frequenza di classe.

Frequenza assoluta = numero di osservazioni che cadono in ciascuna classe.

È un numero compreso tra 0 ed il numero totale di osservazioni (nell’esempio 40).

La somma delle frequenze assolute è sempre uguale al numero totale di osservazioni.

Frequenza relativa = frequenza assoluta / numero totale di osservazioni.

È un numero sempre uguale o prossimo, dovuto ad arrotondamenti, ad 1.

Frequenza percentuale = frequenza relativa * 100.

La somma di tutte le frequenze percentuali dà come risultato 100, o numero prossimo.

Variabili numeriche continue

Variabili numeriche continue → possono assumere infiniti valori all’interno di un intervallo.

R (range) = differenza tra valore maggiore e valore minore.

Rilevando le altezze di 40 studenti si ottengono i seguenti dati, espressi in cm.

La variabile osservata è continua ed i valori dei dati sono compresi tra 155 e 190 cm.

R (range) = 190 − 155 = 35.

Variabili numeriche continue → il modo di scegliere le classi non è unico perché ho infiniti intervalli.

Le classi:

• Non devono sovrapporsi.
• Devono contenere tutti i valori.
• Generalmente hanno la stessa ampiezza, caratteristica non obbligatoria.
• Bisogna specificare se la classe è chiusa a destra e/o sinistra, ovvero se i dati coincidenti con gli estremi devono essere raggruppati nella stessa classe o nella classe adiacente.

Numero di classi: per determinare il numero delle classi da utilizzare ci sono diverse metodologie.

√k = n: regola pratica, numero di classi k = radice quadrata del numero di osservazioni.

k ≍ 1 + 3,322 * log n: altra regola.

Ampiezza = R / k (range / numero delle classi).

Classe = definita come un intervallo. Il numero di classi è un numero finito.

k = √40 = 7, approssimazione all’intero superiore.

Ampiezza = 35 / 7 = 5.

Si è deciso di tenere l’estremo inferiore appartenente alla classe.

Mai mettere gli uguali in entrambi gli estremi ma solo in uno.

L’utilizzo di classi formate da intervalli fa perdere delle informazioni che provengono dai dati iniziali. Non sappiamo infatti l’esatta altezza degli studenti ma solo se essi ricadono all’interno di un intervallo o di un altro. Tale perdita di informazione non vi è per le variabili numeriche discrete poiché non ho intervalli ma valori assoluti.

Variabili non numeriche

Variabili non numeriche → rappresentano il grado di piacere, di divertimento... qualcosa di non rappresentabile con un numero.

Livello di gradimento di un film (ho una tabella differente).

La variabile è “divertimento”.

In questo caso i dati sono già raggruppati in classi.

Tabella molto simile a quelle delle variabili discrete solo che non ho numeri ma giudizi.

Tabella di distribuzione cumulativa di frequenza

Ci sono altri modi di raggruppare i dati, ad esempio dati “minori di”, “maggiori di”, ottenendo in questo modo le distribuzioni cumulative.

Esempio 1.

Frequenza assoluta cumulativa relativa alla classe 19 tiene in considerazione anche le frequenze assolute delle classi precedenti.

• Ultimo valore di frequenza assoluta cumulativa = numero totale di osservazioni.
• Ultima frequenza relativa cumulativa = 1.
• Ultima frequenza percentuale cumulativa = 100.

Frequenza cumulativa = la frequenza totale di tutti i valori minori del limite superiore di una classe.

Si considerano anche i valori appartenenti alle classi precedenti.

Grafici

I grafici → sono utili per rappresentare in modo veloce e intuitivo informazioni ricavate dai dati, osservazioni.

Diagrammi a barre

Indicati per variabili non numeriche e per variabili discrete.

Asse y: nome delle classi.

Asse x: frequenza assoluta per ogni classe.

I rettangoli non sono adiacenti e comunque equidistanti tra loro.

Istogrammi

Istogrammi: sono dei diagrammi a barre ruotati, inverto assi.

Utilizzati per rappresentare generalmente le frequenze relative.

Asse y: frequenza relativa o frequenza assoluta.

Asse x: nome carattere / classi.

I rettangoli non sono adiacenti e comunque equidistanti tra loro.

Diagrammi a torta

Utilizzati per rappresentare generalmente le frequenze percentuali e per le variabili non numeriche.

Numero delle fette = numero delle classi.

Ampiezza di ciascuna fetta = valore della frequenza percentuale della classe.

f : 100 = g : 360° → 2 2.

Rapporto statistico

Rapporto statistico è una divisione tra quantità che ci permette confrontare eventi ed ottenere quindi un legame logico tra di essi.

Un esempio sono le frequenze relative ottenute dal rapporto tra la singola frequenza assoluta di una classe e la somma di tutte le osservazioni.

Numeri indice

Numeri indice = sono valori espressi da un rapporto che permettono di verificare l’andamento di variabili economiche nel tempo o nello spazio.

È un rapporto che permette di confrontare un fenomeno in condizioni sia temporali che spaziali differenti (temporali significa in 2 tempi diversi / spaziali invece in 2 zone diverse).

Vendita di un bene a maggio e luglio / in Italia ed in Francia.

I numeri indice possono essere classificati in:

• Numeri indice semplici: ottenuti dal rapporto di 2 dati appartenenti della stessa serie.
• Indici a base fissa: il periodo di riferimento rimane sempre lo stesso.
• Indici a base mobile: il periodo di riferimento è quello precedente.
• Numeri indice complessi: utilizzati per studiare l’andamento di un’intera classe e non di soli 2 dati.

Utilizzati in economia per rilevazioni sui prezzi.

Numeri indice dei prezzi più noti:

• Indice di Laspeyres.
• Indice di Paasche.
• Indice di Fisher.

Indice di Laspeyres

Indice di Laspeyres → < 1.

Se il risultato è < 1, i prezzi sono diminuiti rispetto al primo periodo.

Rapporto tra le medie dei prezzi di m beni diversi calcolati in periodi differenti (0, n), ponderati con le quantità dei beni nel periodo iniziale 0.

Rapporto tra il prodotto del prezzo del bene nel periodo n moltiplicato, ponderato per la quantità dello stesso bene venduto nel periodo iniziale 0, diviso per la sommatoria del prodotto tra il prezzo del bene nel periodo 0 per la quantità del bene venduto nel periodo 0.

Questo indice non varia temporalmente ma solo spazialmente.

In tale indice il paniere di riferimento non varia nel tempo.

Indice di Paasche

Indice di Paasche → < 1.

Se il risultato è < 1, i prezzi sono diminuiti rispetto al primo periodo.

Numero simile ma diverso da quello di Laspeyres: la ponderazione è fatta con le quantità dei beni nel periodo finale, quindi è un indice più aggiornato.

Rapporto tra le medie dei prezzi di m beni diversi calcolati in periodi differenti (0, n), ponderati con le quantità dei beni nel periodo n.

In questo caso il periodo di riferimento varia perché la ponderazione è fatta con la quantità venduta nel periodo n e non nel periodo iniziale 0 (Laspeyres).

È preferibile utilizzare l’indice di Paasche perché risulta essere più aggiornato in quanto il periodo di riferimento varia costantemente nel tempo. La ponderazione viene infatti eseguita con la quantità del bene venduta nel periodo n e non nel periodo iniziale come invece avviene nell’indice di Laspeyres.

Ciò rende l’indice di Paasche aggiornato e per questo è preferibile da utilizzare.

Indice di Fisher

Indice di Fisher corrisponde alla media geometrica dell’indice di Laspeyres e dell’indice di Paasche ed è stato introdotto per superare i limiti presenti in questi ultimi indici:

• L’indice di Laspeyres sovrastima qualsiasi incremento dei prezzi all’interno del paniere.
• L’indice di Paasche sottostima qualsiasi incremento dei prezzi all’interno del paniere.

Esercizio

Esercizio: consideriamo il prezzo di cellulari e le rispettive quantità vendute nel mese di maggio e di giugno.

Indice Laspeyres.

• A numeratore e denominatore si usano solo le quantità vendute nel periodo 0, maggio.

m = 3.

Periodo 0 = maggio, viene prima.

Periodo n = giugno.

I due periodi di riferimento sono maggio e giugno.

I prezzi e le quantità sono riportate nella tabella.

< 1.

Essendo il risultato < 1 vuol dire che i prezzi da maggio a giugno sono diminuiti.

Indice Paasche.

• La ponderazione è fatta sul periodo n quindi l’indice è aggiornato all’ultimo periodo.

L’indice di Paasche sottostima.

Valore < dell’indice di Laspeyres.

Anche questo indice ci dà lo stesso andamento ma sottostima. Utilizzo quindi l’indice di Fisher che esegue la media geometrica di questi 2.

Indici di posizione

Gli indici di posizione sono dei valori che rappresentano in modo sintetico alcune caratteristiche appartenenti ad una distribuzione di dati. Con un valore permettono infatti di rendere chiaro ciò che invece non lo sarebbe se vedessimo la distribuzione completa dei valori ottenuti.

Valore medio = è un valore che rappresenta il cuore della distribuzione, rappresenta una tendenza centrale.

Media: definibile come il valore compreso tra il dato minimo ed il dato massimo, definizione di Cauchy.

Categorie di indici

• Le medie analitiche → vengono calcolate tenendo in considerazione tutti i valori presenti all’interno della distribuzione di dati: media aritmetica, media geometrica, media armonica, media quadratica; a queste si aggiunge il termine ponderata quando si attribuisce diversa importanza tra i dati della distribuzione, quando abbiamo una distribuzione di frequenza.
• Le medie lasche → sono quelle che vengono calcolate tenendo in considerazione solo alcuni valori dell’intera distribuzione di dati: mediana, moda, o valore normale, quartile.

Media aritmetica

Media aritmetica: si ottiene effettuando un rapporto tra la somma dei singoli valori della distribuzione fratto il numero totale degli stessi valori. I valori rilevati non sono riportati con le frequenze, media aritmetica semplice.

Media aritmetica ponderata è utilizzata quando i valori hanno frequenza differente, quando hanno un peso diverso. N = indica la somma delle singole frequenze.

Ad esempio nel calcolare la media dei voti all’università si considerano i valori dei CFU come frequenze.

Media geometrica

Media geometrica: si può calcolare se i valori sono tutti positivi e non nulli.

È la radice ennesima, dove n indica il numero totale dei dati, del prodotto dei singoli valori della distribuzione.

Media geometrica ponderata = tiene in considerazione il peso determinato dalla frequenza.

N = somma delle frequenze dei singoli valori.

(x1 elevato alla propria frequenza).

La media geometrica viene utilizzata quando si vuole analizzare il variare di un fenomeno nel tempo, per esempio il tasso medio di crescita di una popolazione, la variazione media mensile dei prezzi di un prodotto, il tasso di variazione dei prezzi o i tassi di rendimento di capitali.

Esempio: un capitale è stato impiegato per 4 anni al tasso del 2%, per altri 3 anni al tasso del 3% ed infine per 2 anni al tasso del 5%.

Per calcolare il tasso medio si utilizza la media geometrica ponderata.

Gli anni rappresentano la frequenza.

Radice nona perché sommo le frequenze, in questo caso gli anni.

Media quadratica

Media quadratica: utilizzata quando non si vuole ottenere un valore negativo, non importa il segno del valore.

La media quadratica è quella con valore maggiore e viene utilizzata per mettere in evidenza i valori che si scostano molto dai valori centrali.

È la radice quadrata della somma dei quadrati dei singoli dati della distribuzione divisi per il loro numero totale, n.

Media quadratica ponderata = si ottiene moltiplicando ciascun dato per la propria frequenza ricordandosi di mettere al denominatore la somma delle frequenze, N. Il tutto sotto radice quadrata.

Media armonica

Media armonica: è l’inverso della media aritmetica e si utilizza quando ha senso parlare del reciproco di una grandezza.

Media armonica semplice = al numeratore abbiamo n e al denominatore abbiamo la somma del reciproco dei singoli valori della distribuzione.

Media armonica ponderata tiene in considerazione le frequenze.

La media armonica è un indice di posizione utilizzato quando si è interessati non alla sintesi di una distribuzione ma all’analisi di un evento che è il reciproco di quello osservato.

Esempio: per calcolare il potere di acquisto medio di una moneta in diversi Paesi in cui invece il fenomeno osservato è il costo di un bene nei vari Paesi, potere di acquisto = 1/prezzo del bene.

Supponiamo che uno stesso prodotto sia venduto a prezzo differente in 4 città.

A Milano costa 0,85 − a Torino 0,90 − a Roma 0,75 − a Bari 0,70.

Potere d’acquisto medio =

Medie lasche

Medie lasche non utilizzano più tutti i valori della distribuzione ma solo alcuni dati.

Mediana

Mediana: è il valore centrale della distribuzione ordinata se il numero dei valori è dispari.

È la media aritmetica dei 2 valori centrali della distribuzione ordinata se il numero dei dati è pari.

Esempio:

Calcola la mediana della seguente distribuzione: 14-6-8-2-9-3-10.

2-3-6-8-9-10-14, ordino la distribuzione.

Mediana = 8 poiché il numero dei valori della distribuzione è dispari. Prendo quindi quello centrale.

Calcola la mediana della seguente distribuzione: 14-6-8-2-9-3-10-11.

2-3-6-8-9-10-14, ordino la distribuzione.

Mediana = media aritmetica tra 6 e 8 = 6+8/2 = 7. La distribuzione presenta un numero di valori pari. Eseguo quindi la media aritmetica dei due dati centrali.

Mediana su distribuzione di frequenza → è necessario calcolare le frequenze cumulate.

N = è alla somma delle frequenze.

Mediana = N/2 → se N è pari.

Mediana = (N+1)/2 → se N è dispari.

Esempio: indagine sul numero di figli su un campione di famiglie.

Mi devo poi calcolare la frequenza cumulativa per ogni classe.

N = 25, è la somma di tutte le frequenze.

N → è dispari quindi:

Mediana = (N+1)/2 = (25+1)/2 = 26/2 = 13 → cioè 2.

Mediana = 2.

Il valore della mediana non è 13, ma 2 → cioè il valore della classe alla quale corrisponde la frequenza maggiore di quella trovata, 13.

Esempio: ricerca sulle cilindrate delle auto possedute da un gruppo di persone. Calcolare la mediana.

Innanzi tutto si calcolano le frequenze cumulative.

N → è pari quindi:

Mediana = N/2 = 2500 /2 = 1250 → la classe mediana di riferimento sarà quella corrispondente alla riga della frequenza cumulativa maggiore del valore trovato, 1250.

Classe mediana = 1200 − 1600 corrisponde alla frequenza cumulativa 1895.

Per ottenere un valore preciso della mediana si deve eseguire una proporzione:

1200 940

x 1250, la x è il valore preciso della mediana che è compreso tra 1200 e 1600.

1600 1895.

(x - 1200) : (1600-1200) = (1250 − 940) : (1895-940).

x = 1212,95.

Moda

Moda può essere definita come un indice di posizione che individua il valore di una distribuzione al quale corrisponde la massima frequenza.

La moda corrisponde al valore che ha più probabilità di presentarsi.

La moda appartiene alle medie lasche perché non tiene in considerazione tutti i valori.

Distribuzioni plurimodali → sono distribuzioni che presentano più valori di moda. Hanno valori che presentano entrambi la frequenza massima.

Esempio: la moda è 5 poiché corrisponde al valore più alto di frequenza.

Se i valori sono raggruppati in classi si determina la classe modale:

Se l’ampiezza delle classi è costante si dirà