Statistica

Statistica descrittiva di base

Introduzione alla statistica

Statistica = Scienza che studia con metodi matematici fenomeni collettivi. L'aspetto cruciale della statistica è di essere rivolto alla conoscenza dei fenomeni collettivi e non ai casi individuali specifici. È una tecnica che ha per scopo la conoscenza quantitativa dei fenomeni collettivi.

Attraverso gli strumenti analitici statistici è possibile:

• Sintetizzare le informazioni con indici, tabelle e grafici;
• Validare un modello teorico attraverso osservazione di dati reali;
• Quantificare l'incertezza;
• Mettere in relazione diversi fenomeni e individuare nessi di causalità.

Tipologie di statistica

Statistica descrittiva

Quella che si limita a descrivere i fenomeni attraverso indici e grafici. Si occupa di descrivere e sintetizzare (con tabelle, grafici, indici sintetici, ecc.) le informazioni (qualitative e quantitative) relative a un certo gruppo di "soggetti" al fine di far emergere caratteristiche, andamenti ed eventuali relazioni che si verificano all'interno del fenomeno analizzato. Gli strumenti della statistica descrittiva permettono di sintetizzare e rappresentare i dati osservati.

• La costruzione delle tabelle e dei grafici
• Il calcolo delle medie
• L'analisi della variabilità
• Le tabelle doppie di contingenza
• La retta di regressione

Statistica inferenziale

Quella che, anche avvalendosi di metodi probabilistici, permette di trarre conclusioni generali a partire dall'esame di un campione. Utilizza le informazioni raccolte da un'indagine campionaria e le "manipola" (grazie all'utilizzo di opportuni "modelli") in modo da poter generalizzare le indicazioni tratte dal gruppo (analisi parziale) investigato a tutta la popolazione dalla quale tale gruppo è stato estratto. L'inferenza statistica è un processo induttivo che permette di passare dal particolare (l'indagine campionaria) al generale (la popolazione da cui è stato estratto il campione). Il passaggio dal campione alla popolazione avviene in condizioni di incertezza, ed è per questo che l'inferenza usa strumenti probabilistici per estendere le informazioni campionarie alla popolazione.

• Il calcolo delle probabilità
• Le variabili casuali
• Il teorema del limite centrale
• Gli stimatori
• La stima per intervallo

Definizioni

Fenomeno statistico = Fenomeni collettivi che possono essere osservati tramite i metodi statistici in particolari condizioni di omogeneità. I fenomeni statistici sono oggetto di studio e di misurazione tramite la statistica, l'oggetto della nostra analisi. Per un corretto studio del fenomeno statistico è innanzi tutto necessario definire e specificare correttamente l'obiettivo conoscitivo. Esso deve essere individuato senza ambiguità, altrimenti tutta l'analisi che ne consegue risulta non valida.

Individui/Unità statistiche = Individuo su cui si osserva la caratteristica di interesse. Unità elementare su cui andiamo ad osservare e rilevare la caratteristica che in ambito di analisi avevamo definito. Su tali unità statistiche saranno rilevate (osservate) le caratteristiche definite nell'obiettivo dell'analisi.

Unità di rilevazione = È il tipo di individuo rispetto al quale vengono raccolte le informazioni.

Classificazione delle rilevazioni statistiche a seconda dell'estensione

Rilevazione statistica sulla popolazione

Popolazione = L'insieme degli individui (unità statistiche) o portatori della caratteristica di interesse (non necessariamente esseri umani, possono essere macchinari, aziende, immobili, etc).

Censimenti = Indagini sulla popolazione.

Rilevazione statistica su campione

Campione = È solo una parte della popolazione (un sottoinsieme), quindi si prende in esame solo una parte delle unità statistiche portatrici della stessa caratteristica d'interesse.

Teoria dei campioni = È una branca della statistica che definisce i criteri per la selezione delle unità nella popolazione al fine della formazione del campione.

Indagine campionaria = Indagine basata su campioni.

Vantaggi e svantaggi delle tipologie di indagine

• Popolazione
  • Esaustività
  • Costi elevati
  • Censimento
  • Ricchezza di informazioni
  • Lunghi tempi di elaborazione
  • Difficoltà a raggiungere tutti (copertura)
  • Maggior dettaglio
  • Qualità delle informazioni (?).
• Campione
  • Errore campionario (c'è e ci sarà sempre proprio perché prendiamo in analisi una parte ridotta della popolazione. Con le tecniche di campionamento possiamo ridurre il margine di errore, ma non eliminarlo)
  • Economicità
  • Possibilità di ripetizione
  • Indagini mirate
  • Tempestività
  • Minor livello di copertura
  • Selezione del campione (se non viene fatto nel modo corretto e appropriato può dare indicazioni totalmente errate)
  • Può essere sufficiente una conoscenza approssimata del fenomeno di interesse
  • Non accessibilità della popolazione (universo).

Il campionamento

Se da una popolazione di N elementi si estrae un campione di n elementi, è possibile definire le seguenti grandezze:

• Frazione di campionamento (n/N) * 100%
• Intervallo di campionamento N/n (ci dà un'idea della relazione (proporzionalità) tra le due dimensioni).

Tipologie di campionamento

Campionamento casuale semplice

Equivale ad associare ad ogni unità della popolazione una pallina numerata e ad estrarre a caso da un'urna, una per volta e senza riporla, tante palline quante sono le unità che si vogliono campionare.

Affinché si possa applicare tale metodo è necessario disporre di una lista che elenchi tutte le unità statistiche della popolazione.

• Vantaggi
  • Semplicità
  • La distribuzione di frequenza ci dice "come si distribuiscono le frequenze tra le modalità osservate"
  • Richiede una minima conoscenza a priori delle caratteristiche della popolazione
  • È vantaggioso quando la popolazione non è molto grande
  • Garantisce una scelta obiettiva delle unità da rilevare e tale da escludere qualunque distorsione nei risultati.
• Svantaggi
  • Costi di rilevazione elevati
  • Stime meno precise, a parità di numero di osservazioni (poca efficienza)
  • Poco utilizzato nelle indagini di grandi dimensioni
  • In generale non vengono utilizzate tutte le informazioni che si posseggono sulla popolazione.

Campionamento casuale stratificato

Consiste nel suddividere la popolazione di partenza in k gruppi, ciascuno con elementi il più possibile omogenei fra di loro, ed estraendo quindi un campione casuale di opportune dimensioni da ciascuna classe. I gruppi o le classi in cui si suddivide la popolazione si chiamano strati ed il procedimento di ripartizione in gruppi si chiama stratificazione. (utilizzo la formula di frazione di campionamento)

• Vantaggi
  • Consente di aumentare la precisione delle stime a parità di dimensione campionaria (rispetto al campionamento casuale semplice)
  • La stratificazione è molto conveniente quando la distribuzione statistica della variabile da rilevare è fortemente asimmetrica.
• Svantaggi
  • Se non si hanno sufficienti informazioni a priori, la costruzione degli strati può risultare alquanto costosa
  • Se la stratificazione è errata si possono ottenere risultati fuorvianti.

Campionamento sistematico

(campionamento razionale) Nella presente tecnica si individuano le unità in maniera sistematica. Infatti, dopo aver ordinato e numerato a partire da 1 le unità della popolazione, si sceglie una unità campionaria ogni k unità della popolazione. Generalmente la prima unità viene scelta a caso fra 1 ed il numero più vicino all'intervallo di campionamento k = N/n. Così se la prima unità scelta è h, le unità campionarie sono quelle contrassegnate dai numeri h, h + k, h + 2k...

• Vantaggi
  • Le operazioni di estrazione, rilevazione e controllo del campione sono, in generale, più facili e rapide rispetto a quelle dei campionamenti casuale semplice e di quello stratificato
  • Questo schema di campionamento casuale risulta molto efficiente da realizzare quando si disponga della lista delle unità statistiche della popolazione sotto forma di file elaborabile al computer.
• Svantaggi
  • Se la popolazione ordinata varia con tendenza lineare, il campionamento sistematico è più efficiente del campionamento casuale ma meno del campionamento stratificato
  • Se la popolazione ordinata ha un andamento periodico, l'efficienza di un campione sistematico dipende dal valore di k e dalla relazione fra k ed il periodo dell'oscillazione
  • Quando N non è un multiplo intero di k, le stime, a rigore, si considerano corrette soltanto per campioni di dimensione maggiore di 50.

Campionamento a grappolo

Il campionamento a grappoli consiste nella formazione di convenienti gruppi di unità statistiche (grappoli) e nell'estrarre un campione di grappoli secondo un determinato schema di campionamento probabilistico (cioè dopo aver proceduto alla formazione di una lista di grappoli). La differenza rispetto al campionamento stratificato è nel fatto che, una volta estratto il grappolo, al suo interno vengono prese tutte le unità. Inoltre, la popolazione non deve essere divisa in strati rappresentativi, ma semplicemente deve essere ripartita tra gruppi.

• Vantaggi
  • Non richiede l'elenco di tutte le unità della popolazione, ma soltanto di quelle che appartengono ai grappoli scelti
  • Quando i grappoli sono definiti geograficamente, le unità da rilevare risultano meno disperse nel territorio.
• Svantaggi
  • Ogni unità della popolazione deve essere assegnata ad uno ed uno solo grappolo altrimenti si verifica la molteplicità o l'esclusione di alcune unità
  • Si rileva una perdita di efficacia quando le unità di un grappolo sono molto simili.

Campionamento a due o più stadi

Allo scopo di ridurre i costi di un'indagine campionaria, si ricorre in molte occasioni a uno schema che comporta l'individuazione di unità primarie di rilevazione e di unità secondarie o di ordine superiore. La situazione è analoga a quella del campionamento a grappoli, ma in questo caso ciascun grappolo non viene esplorato esaustivamente, ma mediante successivo campionamento.

• Vantaggi
  • La lista per il campionamento è costruita per rappresentare bene le unità del primo stadio (unità primarie)
  • La lista per il campionamento per le unità secondarie può essere costruita durante l'analisi delle unità primarie scelte
  • Se le unità di primo stadio, ad esempio, sono definite geograficamente, i costi dell'indagine vengono ridotti.
• Svantaggi
  • Come per il campionamento a grappoli, si rileva una perdita di efficacia quando le unità primarie sono molto simili
  • I campionamenti a più stadi possono dar luogo a una grande varietà di casi potendosi combinare negli stadi successivi campionamenti casuali semplici con campionamenti stratificati oppure sistematici.

Tipologie di caratteri

Carattere = È la caratteristica, oggetto di studio, rilevata e/o misurata sulle unità statistiche.

Qualitativo

Il carattere osservato sull'unità statistica si può esprimere attraverso un ATTRIBUTO.

• Caratteri qualitativi sconnessi: Non ordinabili, ad esempio: sesso, stato civile, squadra di calcio per cui si tifa (minore capacità informativa)
• Caratteri qualitativi ordinabili: Ad esempio: livello nella professione, grado militare.

Quantitativo

Il carattere osservato sull'unità statistica si può esprimere attraverso un NUMERO.

• Caratteri quantitativi discreti: Assumono soltanto numeri interi come valori osservabili (o in generale un insieme numerabile), cioè in grado di assumere solo un numero discreto (finito o infinito) di modalità (ad esempio: numero di figli di una coppia, voto esame universitario)
• Caratteri quantitativi continui: Fissato un intervallo, possono esprimersi potenzialmente attraverso tutti i valori all'interno di tale intervallo, cioè in grado di assumere qualunque valore all'interno di un intervallo definito (ad esempio: peso, reddito).

Modalità

Modo in cui il carattere si manifesta sulla singola unità statistica (qualitative/quantitative – non ordinabili/ordinabili – discrete/fisse). Variazioni del carattere principale.

Operazioni sulle modalità

• Carattere qualitativo non ordinabile: Si può esprimere soltanto un parere di uguaglianza-disuguaglianza
• Carattere qualitativo ordinabile: Si può esprimere un confronto "maggiore - minore" oltre che uguaglianza/disuguaglianza
• Carattere quantitativo discreto: Il confronto si può esplicitare attraverso la misurazione della differenza o del rapporto tra modalità, solo con numeri finiti, non decimali. (CONTEGGIO) (maggiore/minore/uguale e +/- inteso come differenza tra 2 o più unità) posso non solo dire se i due dati sono uguali/diversi, maggiori/minori, ma anche di quanto sono differenti.
• Carattere quantitativo continuo: Il confronto si può esplicitare attraverso la misurazione della differenza o del rapporto tra modalità, con numeri decimali all'interno di un intervallo. (MISURAZIONE) (maggiore/minore/uguale e +/- inteso come differenza tra 2 o più unità). Possono non solo dire se i due dati sono uguali/diversi, maggiori/minori, ma anche di quanto sono differenti.

Tipologie di scale applicabili a fenomeni di carattere quantitativo

• Scale di intervalli: Determinate da uguale/diverso, maggiore/minore e di quanto maggiore/minore (differenza)
• Scale di rapporti: Determinate da uguale/diverso, maggiore/minore, di quanto maggiore/minore (differenza numerica), doppio/triplo/metà ecc. (che rapporto c'è tra un dato e l'altro)

Distribuzioni di frequenza

Distribuzione di frequenza = La distribuzione di frequenza ci dice "come si distribuiscono le frequenze tra le modalità osservate" sotto forma di tabella. L'obiettivo della costruzione della tabella di frequenze è quello di avere una percezione più immediata di come si distribuisce il carattere. Inoltre tale tabella è un modo più sintetico di rappresentare i dati osservati, soprattutto se questi sono di elevata numerosità.

Tipologie di distribuzioni di frequenza

• Frequenze semplici: Rappresentano il numero di volte in cui una determinata modalità del carattere si presenta sul totale delle unità osservate (es. SESSO = caratteristica, MODALITÀ = Maschio/Femmina). Quante volte si ha la modalità Maschio e quante volte si ha la modalità Femmina. Le frequenze semplici si ricavano attraverso il CONTEGGIO delle MODALITÀ, ovvero quante volte le modalità si sono ripetute all'interno delle nostre unità statistiche (ovvero nei soggetti presi in analisi). La somma della frequenza delle modalità statistiche deve essere uguale al numero delle unità statistiche.

(es. Unità statistiche = 10, Modalità Maschio = 5, Modalità Femmina = 5. 5+5 = 10).

Sono indicate in generale con ni, dove i esprime la i-esima modalità (ovvero la numerosità associata alla modalità – es. n1 = 5 (frequenza associata alla modalità Maschi)).

n1 = 5 (frequenza associata alla modalità Maschi)
n2 = 5 (frequenza associata alla modalità Femmine)
N = n1+n2 = 5+5 = 10 (numerosità delle unità statistiche)
k (numero delle modalità. Es. Maschio/Femmina -> 2)
N = n1 n2 ...

LEGENDAN = numero delle unità statistiche=Σ simbolo della somma (sigma)k = numero delle modalità, dove finiscono le sommatoriei=1 = da dove partono le sommatorie (modalità n1)

Es.X = determina il carattereX1, x2, x3…xk = determinano le modalità del carattereNi = determina le frequenze totali (uguali al numero di unità statistiche)N1,n2,n3…nk = determina quante volte la modalità corrispondente è frequente)

Frequenze relative (fi)

Il rapporto tra ciascuna frequenza assoluta e la somma di tutte le frequenze assolute. Quando la frequenza viene rapportata al totale (frequenza/numero delle unità statistiche totali). Permettono di cogliere meglio il modo di distribuirsi del carattere.

Fi = ni/N
N.B. perdono una informazione fondamentale: la numerosità delle osservazioni (la robustezza del risultato è condizionato dalla numerosità delle osservazioni).

Es.N = 350 (numero di unità statistiche su cui si compie rilevazione e analisi con carattere SESSO)n1 = 25 (numero di unità con MODALITÀ FEMMINE). Fr.