Appunti di Statistica 2

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Author: Aishapodavini

Revisionato il 28/07/2026

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La nozione di campione e lo spazio parametrico.La stima puntuale.Proprietà degli stimatori: correttezza, consistenza, efficienza assoluta erelativa. Il teorema di Frechet-Rao-Cramer. …

Esame Statistica II

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. Borgoni Riccardo

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2018-2019

82 pagine

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Appunti esame

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Campione casuale

Insieme di variabili casuali (X₁,...,X_n) indipendenti e identicamente distribuite come X.

X~F(x) CC (X₁,...,X_n) i.i.d. come X.

Popolazione modello descrittivo

Distribuzione frequenze relative di un carattere all'interno di una popolazione finita.

Funzione matematica che esprime la probabilità o il modello della variabile casuale che descrive l'esito della singola prova di un esperimento nel caso di popolazione infinita/virtuale.

Useremo F(x).

Popolazione

Insieme possibili esiti che possono essere ottenuti da un esperimento.

Finita → insieme unità statistiche realmente esistenti che possono essere oggetto di rilevazione totale o parziale.

Infinita → insieme potenziale delle osservazioni connesse alla ripetizione di un esperimento casuale condotto nelle stesse condizioni.

Spazio campionario

Realizzazioni possibili del campione casuale.

Notazione

X₁,...,X_n campione numerosità n prima della sua osservazione.

x₁,...,x_n campione numerosità n dopo averlo osservato.

D = ampiezza o numerosità campionaria.

Campione

Sottoinsieme finito degli elementi presenti nella popolazione.

Campione casuale

Insieme di variabili casuali (X₁, ..., X_n) indipendenti e identicamente distribuite come X.

X ~ F(x) CC (X₁, ..., X_n) i.i.d. come x.

Popolazione modello descrittivo

Distribuzione frequenze relative di un carattere all'interno di una popolazione finita.

Funzione matematica che esprime la probabilità o il modello della variabile casuale che descrive l'esito della singola prova di un esperimento nel caso di popolazione infinita/virtuale.

Useremo F(X).

Popolazione

"Insieme possibili esiti che possono essere ottenuti da un esperimento finita" → insieme unità statistiche realmente esistenti che possono essere oggetto di rilevazione totale o parziale.

"Infinita" → insieme potenziale delle osservazioni connesse alla ripetizione di un esperimento casuale condotto nelle stesse condizioni.

Spazio campionario

Realizzazioni possibili del campione casuale.

Notazione

X₁, ..., X_n campione numerosità n prima della sua osservazione.

x₁, ..., x_n campione numerosità n dopo averlo osservato.

D = ampiezza o numerosità campionaria.

Campione

Sottoinsieme finito degli elementi presenti nella popolazione.

Inferenza statistica

Teoria probabilità ➔ fornisce modelli per i fenomeni la possibilità di misurare l'errore commesso nell'inferenza.
Analisi descrittiva ➔ produce evidenze relative a tali modelli basandosi sui dati relativi.
Inferenza statistica ➔ permette di risalire dai dati osservati empiricamente alle caratteristiche del modello.

Variabilità campionaria

Il campione osservato è solo uno dei possibili campioni estraibili dalla popolazione di interesse.

Media campionaria

Media campionaria (stimatore di E(x)).

x̄ = 1/n Σ x_i.

ξ = (x₁,...,x_n) S = s(ξ) statistica.

E(x̄) = ξ var(x̄) = σ²/n.

Varianza campionaria

Varianza campionaria (stimatore di Var(x)).

S² = 1/(n-1) Σ (Xi-x̄)².

S² = 1/n Σ (Xi-x̄)².

Stimatore

(X₁,...,X_n) cc proveniente da una popolazione di cui interessa stimare θ, si chiama stimatore la statistica campionaria T = T(X₁,...,X_n) utilizzata per stimare θ.

Stima

Singola determinazione dello stimatore, cioè il valore T(X₁,...,X_n) che esso assume nel campione osservato (X₁,...,X_n).

Distribuzione campionaria della media

X_n = f(X) CC (X₁,..., X_n) = media popolazione.

α² = varianza popolazione.

E() = VAR() = α²/n.

Popolazione normale con varianza nota

X_n ~ N(,α²) X ∈ ℝ ∈ ℝ α² > 0 noto (X₁,..., X_n) CC da X.

1/n ∑_i=1ⁿ X_i = ∑_i a_i X_i = ∑ a_i.

Ricavo distribuzione X dalla funzione generatrice dei momenti.

g_X(t) = E [e^tX] = e^{t + 1/2 (αt)²}.

g_X(t) = E [E ^e_{Σta_iX_i}] = E (Π ^e_{ta_iX_i}) = Π E( ^e_{ta_iX_i}) = Π g_X(ta_i) = Π e^ta_i.

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